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%%	Fichier	   : Chaboche
%%	Auteur     : th202608@pleiades077.intra.cea.fr
%%	Date       : 29 avril 2014
%%	Répertoire : /home/th202608/Documents/notes/2014/TutorielMFront/
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Développement pas à pas d'une loi élasto-(visco)-plastique }
\label{sec:chaboche}

Nous allons suivre pas à pas le développement en \mfront{} d'une loi
élasto-plastique, puis visco-plastique (modèle de
J.L. \nom{Chaboche}).

\subsection{Loi élasto-plastique de \nom{Chaboche}}

Il s'agit d'une loi de comportement élasto-plastique à écrouissage
isotrope et cinématique non linéaires. Les équations du modèle sont
résumées brièvement~:
\begin{itemize}
\item relation contraintes déformations élastiques~: 
\[
\tsigma=\tDq\,\colon\,\paren{\tepsilonto-\tepsilonp}
\]
\item Critère de plasticité~:
 \[
 F\paren{\tsigma ,\tenseur{X}} =(\sigma -\tenseur{X})_{\mathrm{eq}}-R(p)\le 0
\]
avec, pour tout tenseur \(\tenseur{A}\)~:
\[
A_{\text{eq}}=\sqrt{\Frac{3}{2}\tenseur{\tilde{A}}:\tenseur{\tilde{A}}}
\] où
$\tenseur{\tilde {A}}$ est le déviateur de \(\tenseur{A}\).
\item l'évolution de la déformation plastique est gouvernée par une
  loi d'écoulement normale au critère de plasticité~:
  \[
  \tdepsilonp=\dot{p}\,\tenseur{n}\quad\text{avec}\quad
  \tenseur{n}=\Frac{3}{2}\Frac{\tilde {\tsigma}-{\tenseur{X}}}{\left(\sigma-\tenseur{X}\right)_{\text{eq}}}
  \]
\item ${\tenseur{X}}$ représente l'écrouissage cinématique non
  linéaire. Il peut résulter d'une combinaison de plusieurs
  écrouissages cinématiques
  ${\tenseur{X}=\tenseur{X}_{1}+\tenseur{X}_{2}+...}$~;
\item L'évolution de chaque variable d'écrouissage $\tenseur{X}_{i}$
  est donnée par~:
\[
\tenseur{X}_{i}=\Frac{2}{3}C_{i}\talpha_{i}
\]
\[
\tdalpha_{i}=\tdepsilonp-\gamma _{i}\,\talpha_{i}\,\dot{p}
\]
\item La fonction d'écrouissage isotrope \(R\paren{p}\) est définie par~:
\[
\begin{aligned}
  R\paren{p}&=R^{\infty}+\paren{R^{0}-R^{\infty}}\exp\paren{-b\,p} \\
\end{aligned}
\]
\end{itemize}

Les propriétés matériau de ce modèle sont donc $E$, $\nu$, $R^{0}$,
$R^{\infty }$, $b$, $C_{1}$, $C_{2}$, $\gamma_{1}$, $\gamma_{2}$.

La discrétisation implicite (par une \(\theta\)-méthode) de ces
équations conduit à résoudre un système d'équations où les inconnues sont~:
\begin{itemize}
\item le tenseur   \(\Delta\,\tepsilonel\)~;
\item le scalaire, \(\Delta\,p\)~;
\item les tenseurs \(\Delta\,\talpha_{i}\) (pour \(i=1,n\) variables cinématiques)~;
\end{itemize}
et où chaque équation d'évolution temporelle de la forme
\(\dot{y}=f\paren{y,z,...}\) est remplacée par~:
\[
\Delta y-\Delta\,t\,f\paren{y+\theta \Delta y,z+\theta \Delta z,,...}=0
\]
Dans le cas de la plasticité, on n'écrit pas d'équation d'évolution de
la variable \(p\), mais directement le respect du critère de
plasticité.

Deux cas se présentent. L'évolution peut être élastique. Il est
possible de tester cela en calculant un tenseur de test
\(\tsigma^{\textit{tr}}\) tel que~:
\[
\tsigma^{\textit{tr}}=\tenseur{D}\,\colon\,\paren{\bts{\tepsilonel}+\Delta\,\tepsilonto}
\]

Si le critère plastique évalué avec cette contrainte de test est négatif, c'est à dire si~:
\[
F^{el}\paren{\tsigma ,\tenseur{X}}=\paren{\tsigma^{\textit{tr}}-\bts{\tenseur{X}}}_{\mathrm{eq}}-R\paren{\bts{p}}<0
\]
alors la solution cherchée est triviale et donnée par~:
\[
\Delta\,\tepsilonp=0 \quad \Delta\, p=0 \quad \Delta\,\talpha_{i}=\tenseur{0}
\]

Sinon, il faut résoudre le système suivant~:
\[
F({{\sigma ,X}})=0 \quad\Leftrightarrow\quad
\left\{
\begin{aligned}
&(\ets{\tsigma}-\ets{\tenseur{X}})_{\mathrm{eq}}-R(p(t+\Delta\,t))&=0 \\
&\Delta\,\talpha_{i}-\Delta\,\tepsilonp+\gamma_{i}(\talpha_{i}+\theta \Delta\talpha_{i})\Delta\,p&=\tenseur{0}\\
&\Delta\,\tepsilonel-\Delta\,\tepsilonto+\Delta\,\tepsilonp&=\tenseur{0}
\end{aligned}
\right.
\]
où $\Delta\,\tepsilonp=\Delta\, p\,\ets{\tenseur{n}}$.

Dans le cas de 2 variables cinématiques, (le système est alors de
taille \(6+1+2\times{}6=19\)), la \og~traduction~\fg{} de ces
équations en \mfront{} est décrite ici pas à pas~:
\begin{enumerate}
\item choix de l'algorithme avec matrice jacobienne numérique dans un
  premier temps.
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=1,lastline=4]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
  En plasticité, on choisit en général \( \theta = 1\) pour que le
  critère soit vérifié en fin de pas de temps (à l'instant \(t_{i} \))
\item définition des propriétés matériau (modifiables depuis le jeu de
  commandes \mtest{} ou \aster{})~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=6,lastline=14,firstnumber=6]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
  Les appels à {\tt setGlossaryName} sont importants pour \castem{}
  car ils permettent à \mfront{} de faire le lien entre les propriétés
  matériau nécessaires à la loi et ceux définis par \castem{} pour ses
  propres besoins.
\item définition des variables internes (l'écriture ci-dessus utilise
  des tableaux, ce qui permet de gérer facilement un nombre quelconque
  de variables cinématiques. Ici on en choisit \(2\))~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=16,lastline=17,firstnumber=16]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
  De plus, il faut compter en tant que variable interne (donc inconnue
  du problème à résoudre) le tenseur des déformations élastiques (ou
  plutôt son incrément {\tt deel}). L'utilisation de {\tt deel }
  plutôt que {\tt dsig } (utilisée habituellement dans {\tt
    Code-Aster} permet d'obtenir un système bien conditionné et permet
  de traiter sans précaution particulière le cas de propriétés
  élastiques variables dans le temps.

\item définition et initialisation des variables locales à
  l'algorithme (l'initialisation est faite une seule fois avant
  l'appel de l'algorithme implicite ce qui permet de gagner du temps
  de calcul)~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=19,lastline=35,firstnumber=19]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
  On calcule dans cette section le critère \( F^{el} \), qui permet
  d'éviter de lancer l'algorithme de \nom{Newton} si la solution reste
  élastique.
\item calcul des contraintes. À chaque itération de l'algorithme
  implicite et après convergence, on calcule~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=37,lastline=39,firstnumber=39]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
\item Calcul des différents termes du système d'équations~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=41,lastline=65,firstnumber=41]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
  \begin{itemize}
  \item la valeur de \(p\) est actualisée en \(t_{i}+\theta\Delta\,t\)
    à la ligne \(45\), ce qui permet d'actualiser l'écrouissage
    isotrope \(R\paren{p}\)~;
  \item de même, pour les variables d'écrouissage cinématique
    \(\alpha_{i}\) en ligne \(51\).  Ceci permet de calculer le
    tenseur \((\ets{\tsigma}-\ets{\tenseur{X}})\) à la ligne \(52\)~;
  \item la direction d'écoulement \(
    \tenseur{n}=\Frac{3}{2}\Frac{\tilde
      {\tsigma}-{\tenseur{X}}}{\left(\sigma-\tenseur{X}\right)_{\text{eq}}}
    \)~;
  \item la ligne \(56\) décrit simplement la décomposition additive
    des déformations~;
  \item la ligne \(57\) traduit le critère de plasticité (normalisé
    par le module d'Young pour conserver un système d'équations
    portant sur des grandeurs de la même dimension que les
    déformations~;
  \item les lignes \(58\) à \(60\) décrivent les évolutions des
    variables cinématiques~:
    \[
    \Delta\,\talpha_{i}-\Delta p \left
      (\tenseur{n} - \gamma_{i} \talpha_{i} \right ) =\tenseur{0}
    \]
  \item enfin la ligne \(63\) correspond au cas où l'incrément est
    élastique.
  \end{itemize}
\item calcul de l'opérateur tangent cohérent~: il utilise directement
  l'inverse de la matrice jacobienne~\cite{helfer_generateur_2013}~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=67,lastline=79,firstnumber=67]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
  La variable {\tt smt} permet de connaître le type d'opérateur
  tangent demandé par le code appelant.
\end{enumerate}


Cette écriture avec \mfront{} et l'algorithme implicite (et matrice
jacobienne numérique) permettent d'obtenir une résolution efficace
(plus efficace que son équivalent avec l'algorithme explicite de
\nom{Runge-Kutta}, qui s'écrit de façon similaire, en remplaçant
\og~\texttt{~feel~}~\fg{}, \og~\texttt{fp}~\fg{}, par
\og~\texttt{deel}~\fg{}, \og~\texttt{dp}~\fg{}, {\em etc.}).

Avec cet exemple, on, peut déjà tester le développement sur un point
matériel à l'aide de \mtest{}, puis sur un maillage éléments finis
(par exemple avec \aster{}).

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=11cm,height=11cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img9.png}
  \caption{Vérification de l'implantation de la loi élasto-plastique.}
  \label{fig:mfront:tutorial:chaboche:check}
\end{figure}

Pour une sollicitation uniaxiale de 10 cycles en traction - compression, on
obtient très rapidement (0,024s) le résultat donné en
figure~\ref{fig:mfront:tutorial:chaboche:check}.

Le fichier \mtest{} pour cet exemple est le
suivant~:
\begin{flushleft}
  \lstinputlisting{@top_srcdir@/docs/tutorial/mtest/chaboche.mtest}
\end{flushleft}

\subsection{Loi élasto-viscoplastique de \nom{Chaboche}}

Le modèle diffère peu du précédent, car seul le critère de plasticité~:
$F({{\sigma ,X}})=(\tsigma -\tenseur{X})_{\mathrm{eq}}-R(p)\le 0$ est remplacé
par une loi d'écoulement en puissance~:
\[
\dot{{p}}=\langle \Frac{F}{K}\rangle ^{m}
\]
où $\left\langle F\right\rangle $ désigne la partie positive de $F$
définie ci-dessus, soit~:
\[
\left\langle F\right\rangle =\text{max}(0,F)
\]

Dans le fichier mfront, seule l'équation donnant l'évolution de
$\Delta\,p$ change~:

\texttt{fp \ \ \ = (seq\_-Rp\_)/young;}

devient~:

{\tt vp \ = pow(F*UNsurK,m)~;}

{\tt fp -= vp*dt;}

\texttt{UNsurK} et \texttt{m} ont bien sûr été ajoutés dans la
définition des propriétés matériau de la loi~:
\begin{flushleft}
{\tt
  @MaterialProperty real m; \newline
  @MaterialProperty real UNsurK;
}
\end{flushleft}

Un nouveau test effectué à l'aide de \mtest{} permet de montrer la
capacité du modèle dans le cas d'un chargement cyclique (cycles en
température en déformation), issu du test hsnv125 de \aster{}. La
durée du calcul~est de 0,58s. Le fichier \mtest{} est le suivant~:
\begin{flushleft}
  \lstinputlisting{@top_srcdir@/docs/tutorial/mtest/viscochab.mtest}
\end{flushleft}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=11cm,height=10cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img10.png}
  \caption{Vérification de l'implantation de la loi élasto-visco-plastique.}
  \label{fig:mfront:tutorial:viscochaboche:check}
\end{figure}

La figure~\ref{fig:mfront:tutorial:viscochaboche:check} donne
l'évolution de différentes variables d'intérêt au cours du test.

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=11cm,height=10cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img12.png}
  \caption{test hsnv125 pour comparer la loi élasto-visco-plastique à
    celle de \aster.}
  \label{fig:mfront:tutorial:hsnv125:check}
\end{figure}


La figure~\ref{fig:mfront:tutorial:hsnv125:check} montre que la
comparaison de la loi développée en \mfront avec son équivalent dans
\aster{} fournit des résultats identiques.

\subsection{Traitement des erreurs, déverminage}

Et si, au cours du développement, on rencontre des erreurs, que faire~?

Lors de la compilation avec \mfront{}, les erreurs sont la
plupart du temps explicites~:
  \begin{itemize}
  \item {\tt Viscochab.mfront:94: error: {\textquoteleft}F' was not
    declared in this scope}
\item {\tt Viscochab.mfront:74: warning: unused variable
    {\textquoteleft}Rp\_'}
\item {\tt Viscochab.mfront:91: error: expected {\textquoteleft},' or
    {\textquoteleft};' before {\textquoteleft}if' \ (oubli d'un
    \og~;~\fg{} en fin de ligne}
\item etc...
\end{itemize}

Lors de l'exécution, il est possible de localiser les erreurs
numériques ou autres via les options de compilation~:
\begin{itemize}
\item le plus simple est de compiler avec {\tt -{}-debug} (détails sur
  l'intégration)~:\newline \texttt{mfront -{}-obuild -{}-interface=aster
    -{}-debug chaboche.mfront}
\item un \og~classique~\fg{} du développement, les impressions
  locales~:
  \begin{itemize}
  \item pour imprimer une variable locale, il suffit d'écrire~:
    \begin{flushleft}
      {\tt cout {\textless}{\textless} {\textquotedbl} seq calculé
      {\textquotedbl} {\textless}{\textless} seq {\textless}{\textless} endl;}
    \end{flushleft}
  \item pour afficher l'état courant de
    l'intégration~:
    \begin{flushleft}
      {\tt cout {\textless}{\textless} *this {\textless}{\textless} endl~;}
    \end{flushleft}
  \end{itemize}
\item pour trouver l'endroit où une erreur d'exécution se produit, on
  peut compiler en mode debug~: \newline
  \texttt{\textbf{CXXFLAGS='-g'}}\texttt{ mfront -{}-obuild
    -{}-interface=aster chaboche.mfront}
\item enfin, dans un calcul \aster, on peut générer des fichiers mtest
  en cas d'échec d'intégration~:
  \newline 
  \texttt{mfront -{}-obuild
    -{}-interface=aster -{}-@Aster\-Generate\-MTest\-File\-On\-Fail\-ure=\-true
    cha\-boche\-.mfront}
\end{itemize}

\subsection{Zoom sur les performances}

En peu de lignes, nous avons construit un modèle
élasto-visco-plastique qui fournit de bons résultats. Ceci montre la
souplesse de \mfront{}. Mais qu'en est-il des performances ? De
nombreux benchmarks ont été effectués~\cite{proix_integration_2013},
mais on peut examiner ce qu'il en est sur le comportement que nous
venons de développer~:
\begin{itemize}
\item le test prend 0,578s avec \mtest{}~;
\item dans \aster{}, la résolution sur un point matériel avec le
  comportement \mfront{} est moins rapide qu'avec \mtest{}~: 2,03s
  (car le temps cpu fixe relatif à l'environnnement d'exécution est de
  l'ordre de 1s).
\item toujours dans \aster{}, la résolution avec le comportement
  VISC\_CIN2\_CHAB prend 1.41s, ce qui est logique puisque
  l'intégration du comportement résout (par une méthode de type
  \og~sécante~\fg{}) une seule équation au lieu de 19 pour
  l'implantation proposée ici.
\item si maintenant on utilise le comportement VISCOCHAB dans
  \aster{}, pour lequel la résolution est similaire à celle de
  \mfront{}, sur un système de 21 équations, la résolution échoue en
  implicite. 
En explicite (méthode de Runge-Kutta d'ordre 2), 
le temps CPU pour ce test est d'environ
  3mn.

\end{itemize}

La convergence avec mtest est très rapide, par exemple, au dernier pas
de temps~:
\begin{flushleft}
  {\tt
    iteration 1 : 0.00439197 94.3891\\
    iteration 2 : 0.00196436 67.3256\\
    iteration 3 : 0.000240731 3.14792\\
    iteration 4 : 2.22909e-06 0.0282276\\
    iteration 5 : 1.88601e-10 0.000232322\\
    iteration 6 : 5.82316e-15 1.49916e-08\\
    convergence, after 6 iterations, order 1.1075\\
  }
\end{flushleft}

On peut constater que les résidus au cours des itérations montrent une
très bonne convergence. La matrice tangente cohérente est donc
précise.

\paragraph{Remarque} Il est possible dans \mfront{} d'intégrer de
façon encore plus efficace des comportements élasto-visco-plastiques à
écoulement normal (comportements standard généralisés). Ici le
comportement est non standard, et l'écriture est suffisamment simple
pour permettre de réaliser facilement des modifications du modèle
tout en restant efficace.
  
\subsection{Ajout de la matrice jacobienne}
\hypertarget{RefHeading8039105070066}{}{

  Les essais précédents montrent la souplesse de l'intégration d'une
  loi de comportement à l'aide de \mfront{}~: il suffit de décrire les
  équations du système à intégrer. La matrice jacobienne, nécessaire à
  la résolution de ce système par la méthode de Newton, est estimée
  par perturbation, ce qui s'avère en pratique de bonne qualité, mais
  prend un temps machine plus important qu'une matrice directement
  programmée.}

Pour illustrer cela, nous allons introduire la matrice jacobienne dans
le comportement précédent. Il faut donc supprimer (ou commenter //) la
ligne~:

{// @Algorithm NewtonRaphson\_NumericalJacobian;}

La matrice jacobienne est composée des différentes dérivées croisées de
chaque équation \(f_{x}\) par rapport à chaque inconnue \(dy\). Par
convention, la dérivée correspondante se nommera {\tt dfx\_ddy}. De
plus, la matrice jacobienne est initialisée à l'identité.

Listons les différentes dérivées à calculer~:

 $\text{dfeel\_deel}=\Frac{\partial }{\partial \Delta
\tepsilonel}\left(\Delta
\tepsilonel+\Delta\,{\varepsilon
}^{p}-\Delta\,{\varepsilon
}\right)={\tenseurq{I}}+\Delta\,p\Frac{\partial
\tenseur{n}}{\partial \Delta\,\tepsilonel}~~$
{avec} \ ~ ~${\tilde
{I}}_{\mathit{ijkl}}=\Frac{1}{2}(\delta _{\mathit{ik}}\delta
_{\mathit{jl}}+\delta _{\mathit{il}}\delta _{\mathit{jk}})$

 $\text{dfeel\_ddp}=\tenseur{n}+\Delta\,p\Frac{\partial
\tenseur{n}}{\partial \Delta\,p}$ \ \ 

 $\text{dfeel\_dda1}=\Delta
p\Frac{\partial \tenseur{n}}{\partial \Delta\,\alpha _{1}}$\ \ 

$\text{dfeel\_dda2}=\Delta\,p\Frac{\partial \tenseur{n}}{\partial
\Delta\,\alpha _{2}}$

 $\text{dfp\_ddp}=1+\Delta\,t\Frac{m}{K}\left\langle
\Frac{F}{K}\right\rangle ^{m-1}\Frac{\partial R}{\partial \Delta\,p}$ 
\ \  

$\text{dfp\_dda1}=-\Delta\,t\Frac{m}{K}\left\langle
\Frac{F}{K}\right\rangle ^{m-1}\Frac{\partial (\sigma
-X)_{\mathrm{eq}}}{\partial \Delta\,\alpha _{1}}$

% \begin{equation*}
$\text{dfp\_ddeel}=-\Delta\,t\Frac{m}{K}\left\langle
\Frac{F}{K}\right\rangle ^{m-1}\Frac{\partial (\sigma
-X)_{\mathrm{eq}}}{\partial \Delta\,\tepsilonel}$
% \end{equation*}

 $\text{dfa1\_dda1}={\tenseurq{I}}-\Delta\,p\Frac{\partial
\tenseur{n}}{\partial \Delta\,\alpha _{1}}+\Delta\,p\gamma
_{1}\theta {\tenseurq{I}}$ \ \  

$\text{dfa1\_dda2}=-\Delta
p\Frac{\partial \tenseur{n}}{\partial \Delta\,\alpha _{2}}$

 $\text{dfa2\_dda2}={\tenseurq{I}}-\Delta\,p\Frac{\partial
\tenseur{n}}{\partial \Delta\,\alpha _{2}}+\Delta\,p\gamma
_{2}\theta {\tenseurq{I}}$ \ \  

$\text{dfa2\_dda1}=-\Delta
p\Frac{\partial \tenseur{n}}{\partial \Delta\,\alpha _{1}}$

$\text{dfa1\_ddeel}=\text{dfa2\_ddeel}=-\Delta\,p\Frac{\partial
  \tenseur{n}}{\partial \Delta\,\varepsilon ^{e}}$ \ \

$\text{dfa1\_ddp}=-\tenseur{n}-\Delta\,p\Frac{\partial \tenseur{n}}{\partial
  \Delta\,p}+\left(\gamma _{1}+\Delta p\Frac{\partial \gamma
    _{1}}{\partial \Delta p}\right)\talpha_{1}$

Les dérivées de la normale  $\tenseur{n}$ peuvent être
calculées de la façon suivante~:
\[
\Frac{\partial \tenseur{n}}{\partial \Delta \tepsilonel}=
\Frac{2\,\mu\,\theta}{(\tsigma -\tenseur{X})_{\mathrm{eq}}}
\left(\tenseurq{M}-\tenseur{n}\otimes\tenseur{n}\right)
\quad\quad
\Frac{\partial \tenseur{n}}{\partial \Delta\,{\alpha }_{1}}
=\Frac{-2\,C_{1}\,\theta }{3\,(\tsigma-\tenseur{X})_{\mathrm{eq}}}
\left(\tenseurq{M}-\tenseur{n}\otimes\tenseur{n}\right)
\]

Le tenseur $\tenseurq{M}$ a été utilisé pour simplifier les
expressions~:
$\tenseurq{M}=\Frac{3}{2}{\tenseurq{I}}-\Frac{1}{2}\tenseur{I}\otimes
\tenseur{I}$

Ces expressions peuvent être écrites directement~dans le fichier
\mfront{}~:
\begin{flushleft}
  \lstinputlisting{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/viscochab2.mfront}
\end{flushleft}

On constate donc que la seule difficulté consiste à calculer les
expressions analytiques de ces dérivées à la main ! Une fois écrite
cette matrice jacobienne, on peut vérifier sa précision en la
comparant à la matrice jacobiennne numérique~:
\begin{flushleft}
  \lstinputlisting[numbers=none]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/viscochab3.mfront}
\end{flushleft}

Ces instructions peuvent être ajoutées dans le fichier \mfront{} , ou
mieux, sur la ligne de commande à la compilation (ce qui évite de
\og~polluer~\fg{} le fichier mfront)~:
\begin{flushleft}
  {\tt
    mfront -{}-obuild -{}-@CompareToNumericalJacobian=true -{}-@JacobianComparisonCriterium=1.e-6 chaboche.mfront
  }
\end{flushleft}

On mesure ensuite son efficacité sur les tests. Le test précédent
prend cette fois \(0,43s\) (au lieu de \(0,578\) avec matrice
jacobienne numérique). Sur un point matériel, cela est sans conséquence, mais 
le gain peut être imporant dans un calcul de structure.

Une fois que le comportement développé à l'aide de \mfront{} est
validé sur point matériel, avec \mtest{}, et que la matrice jacobienne
est correcte, il peut ensuite être utilisé dans des calculs de
structure, aux grandes déformations (par exemple en utilisant {\tt
  GDEF\_LOG} dans \aster{} ou d'autres codes). Les benchmarks
effectués montrent l'efficacité de ce type d'intégration (même pour
des comportements complexes, par exemple en plasticité cristalline,
cf.~\cite{proix_integration_2013}).

\subsection{Ajout de la non radialité et de la mémoire d'écrouissage}
\hypertarget{RefHeading23861511383590}{}

Un des avantages de l'écriture très compacte des lois de comportement
avec \mfront{} réside dans la facilité d'intervention (amélioration,
développement, maintenance) dans le fichier \mfront{}. 

Si, par exemple, on souhaite ajouter des effets de non-radialité au
comportement précédent (ici, pour simplifier l'exposé, avec matrice
jacobienne numérique), il faut modifier légèrement l'évolution de
l'écrouissage cinématique~:
\[
{{\tdalpha}}_{i}={{\dot{\varepsilon }}}^{p}-\gamma _{i}{\alpha}_{i}\dot{p}
\]
devient~:
\[
\dot{\talpha}_{i}={\dot{\varepsilon
  }}^{p}-\gamma _{i}\left[\delta _{i}\talpha_{i}+(1-\delta
  _{i})(\talpha_{i}:{n}){n}\right]\dot{p}
\]
où $\delta _{i}$ sont des coefficients compris entre 0 et 1 (1 revient
à annihiler l'effet de non-radialité).

Qu'est-ce que l'effet de non-radialité~? Il se traduit par un
écrouissage supplémentaire lors de chargements cycliques où les
composantes du tenseur des contraintes en un point ne sont pas
proportionnelles. Pour illustrer ce phénomène l'essai de
traction-torsion permet de contrôler l'aspect non-radial et de mettre
en évidence le sur-écrouissage dans le cas où la traction et la
torsion sont déphasées~\cite{fatemi_2011}.

La discrétisation implicite donne pour cette équation~:
\begin{equation*}
\text{fa}_{i}=\Delta\,\alpha _{i}-\Delta\,{\varepsilon
}^{p}+\gamma _{i}(p+\theta \Delta\,p)\left[\delta
_{i}(\talpha_{i}+\theta \Delta\,{\alpha
}_{i})+(1-\delta _{i})\left((\talpha_{i}+\theta \Delta
{\alpha}_{i}):{n}\right){n}\right]\Delta\,p=0
\end{equation*}

ce qui modifie peu de choses dans le fichier \mfront{}~:
\begin{enumerate}
\item au début du fichier, la déclaration des propriétés matériau
  supplémentaires~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=21,lastline=22,firstnumber=21]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/ViscoMemoNrad.mfront}
  \end{flushleft}
\item et dans l'intégration~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=86,lastline=88,firstnumber=86]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/ViscoMemoNrad.mfront}
  \end{flushleft}
\end{enumerate}

On peut voir l'effet de non-radialité par exemple sur un test de
traction-torsion où les déformations axiales et celles de cisaillement
suivent un trajet en étoile
(cf. figure~\ref{fig:mfront:tutorial:etoile:check}). Chaque branche
correspond à un aller -retour dans le diagramme gamma-epsilon.

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=11cm,height=10cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img13.png}
  \caption{chargement en étoile en traction-torsion.}
  \label{fig:mfront:tutorial:etoile:check}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=11cm,height=10cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img14.png}
  \caption{simulation du chargement en étoile - modèles avec et sans non-radialité}
  \label{fig:mfront:tutorial:numetoile:check}
\end{figure}

La réponse obtenue avec un modèle sans effet de non-radialité (courbe
verte sur la figure~~\ref{fig:mfront:tutorial:numetoile:check}) est
très différente de celle obtenue avec le modèle qui tient compte de
cet effet (courbes rouge et bleue, superposées).

De même, l'ajout d'un effet de mémoire d'écrouissage ne pose pas de
problème. Il est important de prendre en compte cet effet, lié à la
plus grande amplitude de déformation plastique, pour des chargements
cycliques. Cela revient à modifier la définition de l'écrouissage
isotrope~: la fonction \(R\paren{p}\) n'est plus connue explicitement,
mais par l'intermédiaire du système d'équations~:
\[
R(p)=R_{{0}}+\bts{R}+\Delta\,R \quad\text{ avec }\quad \Delta\, R=b\paren{Q-R}\,\Delta\,p
\]
et
\[
Q=Q_{0}{\text{}}{}+\paren{Q_{{m}}-Q_{{0}}}\paren{1-e^{{-2\mu
    \paren{\bts{q}+{\Delta\,q}}}}}
\]

On introduit donc une variable interne supplémentaire \(q\),
déterminée par le critère~:
\[
f\left(\tepsilonp,{\txi },q\right)=\Frac{2}{3}\paren{\tepsilonp-\txi}_{\mathrm{eq}}-q=\Frac{2}{3}\sqrt{\Frac{3}{2}\paren{\tepsilonp-\txi}\,\colon\,\paren{\tepsilonp-\txi}}-q\le 0
\]
ce qui correspond à un domaine convexe dans l'espace des déformations
plastiques de centre $\txi$ et de rayon $q$. L'évolution de ce centre
est donné par la loi de normalité~:
\[
\Delta\,{\txi}=\Frac{\left(1-\eta \right)}{\eta}\,\Delta\, q\,\tenseur{n}^{\star{}}\quad\text{avec}\quad
\tenseur{n}^{\star{}}=\Frac{3}{2}\Frac{\tepsilonp-\txi}{\paren{\tepsilonp-\txi}_{\mathrm{eq}}}
\]

Introduisons ces équations dans notre comportement \mfront{}~:
\begin{enumerate}
\item il faut ajouter les variables internes $\txi $ et $q$~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=44,lastline=45,firstnumber=44]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/ViscoMemoNrad.mfront}
  \end{flushleft}
\item nous aurons besoin de mémoriser la valeur de l'écrouissage
  isotrope $R$. Mais il n'est pas nécessaire de définir $R$ en tant
  que variable interne car ce n'est pas vraiment une inconnue du
  système d'équations ($\Delta\,R$ peut être déterminé explicitement à
  partir de $\Delta p$ et $\Delta\,q$).  On choisit donc de la définir
  comme variable auxiliaire, actualisée après convergence de
  l'algorithme d'intégration implicite~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=47,lastline=47,firstnumber=47]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/ViscoMemoNrad.mfront}
  \end{flushleft}
  En fin d'intégration, on trouvera donc~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=106,lastline=112,firstnumber=106]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/ViscoMemoNrad.mfront}
  \end{flushleft}
\item il reste à ajouter les équations (\texttt{fq} et \texttt{fksi})
  relatives à l'effet de mémoire~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=102,lastline=112,firstnumber=102]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/ViscoMemoNrad.mfront}
  \end{flushleft}
\item Et il reste une petite modification sur le calcul du critère de
  plasticité, puisque $R(p)$ doit être maintenant déterminé à partir
  de $\Delta\,p$ {et} $\Delta q$~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=76,lastline=78,firstnumber=76]{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/ViscoMemoNrad.mfront}
  \end{flushleft}
\end{enumerate}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=11cm,height=10cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img16.png}
  \caption{chargement en étoile - modèles avec et sans mémoire-sigma-xy --- sigma-xx}
  \label{fig:mfront:tutorial:memo1:check}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=11cm,height=10cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img17.png}
  \caption{chargement en étoile - modèles avec et sans mémoire- sigma-xx -- temps}
  \label{fig:mfront:tutorial:memo2:check}
\end{figure}

On obtient donc rapidement un modèle capable de représenter très
correctement des essais de traction-torsion sur plusieurs cycles
~\ref{fig:mfront:tutorial:memo1:check}
et~\ref{fig:mfront:tutorial:memo2:check} (courbes rouge~: \aster{} et
bleue~: \mfront{} confondues), alors que le modèle initial (sans
mémoire ni effet de non radialité, courbe verte) est loin de la
solution.

Il est possible, après avoir vérifié que le modèle convient, et
fournit la solution attendue, de chercher à l'optimiser pour diminuer
le temps de résolution (~\cite{aster_chaboche}), en réduisant la taille du
système et en introduisant la matrice jacobienne. Mais cet exemple
d'un comportement déjà sophistiqué montre qu'il est possible très
rapidement de tester des lois de comportement de façon
opérationnelle.

\begin{table}[htbp]
  \centering
  \begin{tabular}{|m{8cm}|m{8cm}|}
    \hline
    Loi  &
    Algorithme \mfront{}
    et test\\\hline
    Chaboche &
    Implicite\\\hline
    HAYHURST (fluage et
    endommagement des aciers) &
    { Implicite, jacobienne ,
      GDEF\_LOG, Theta=0.5 }
    et Explicite,
    Runge-Kutta\\\hline
    MAZARS (béton,
    endommagement) &
    Avec séchage et
    hydratation\\\hline
    BETON\_BURGER\_FP &
    Fluage propre du béton
    avec retrait\\\hline
    MONOCRISTAL (MC) &
    Implicite, jacobienne,
    petites déformations\\\hline
    POLYCRISTAL (MC) &
    Runge-kutta , 30
    grains\\\hline
    MONOCRISTAL (DD\_CFC)(+
    irradiation) &
    Implicite, jacobienne,
    petites déformations\\\hline
    POLYCRISTAL (DD\_CFC) &
    Runge-Kutta , 30
    grains\\\hline
    MONOCRISTAL (DD\_CC)(+
    irradiation) &
    Implicite, jacobienne,
    petites déformations\\\hline
    META\_LEMA\_ANI &
    Implicite, jacobienne
    numérique, avec effet des phases métallurgiques\\\hline
    MONOCRISTAL (MC) &
    Implicite, jacobienne
    numérique, grandes déformations\\\hline
  \end{tabular}
  \caption{Quelques exemples de lois de comportement dévelopées avec \mfront{}.}
  \label{tab:mfront:aster:examples}
\end{table}

Plusieurs autres lois de comportement ont été développées et sont
inclues dans les tests de \mfront{} et de \aster{}. Nous en donnons
une liste partielle au tableau~\ref{tab:mfront:aster:examples}. Pour
chacun, le temps de développement n'a pas dépassé une demi-journée.

\subsection{Identification des propriétés matériau à l'aide d'\adao{}}

Une fois le modèle validé, il est souvent nécessaire de procéder à
l'identification de ses propriétés matériau, souvent à partir de
données expérimentales ou provenant d'autres modèles.

Nous avons vu que \mtest{} permet d'effectuer très efficacement la
simulation de la réponse d'un point matériel à une sollicitation en
contraintes ou en déformations.  Ce sera le \og~moteur~\fg{} de
l'identification, en utilisant l'outil
\adao{}~\cite{argaud_documentation_2014}, intégré à la plate-forme
\salome{}~\cite{salome_open_2014}.

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=9cm,height=8cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/CourbeExpBurger.png}
  \caption{courbe expérimentale et recalée}
  \label{fig:mfront:tutorial:CourbeExpBurger:check}
\end{figure}

\adao{} permet de trouver, par des algorithmes d'optimisation, les
valeurs optimales d'un ensemble de paramètres noté $X$, qui minimisent
une fonctionnelle
$F=\left|{\left|{Y^{\mathit{obs}}-H(X)}\right|}\right|$, représentant
l'écart entre des valeurs observées $Y^{\mathit{obs}}$ et la
simulation $H(X)$. 

Le code de simulation (ici \mtest{}, mais cela peut-être \aster) calcule
pour chaque ensemble de paramètres $X$ la réponse $H(X)$. 

Les valeurs $Y^{\mathit{obs}}$ \og~observées~\fg{} peuvent être
expérimentales ou issues d'autres modèles. Sur la
figure~\ref{fig:mfront:tutorial:CourbeExpBurger:check}~:
$Y^{\mathit{obs}}$ correspond aux ordonnées de la courbe rouge, qui
est une courbe expérimentale.

La courbe verte représente le résultat de la simulation pour un jeu de
paramètres optimum $H(X^{\mathit{final}})$.

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=16cm,height=14cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img18.png}
  \caption{recalage à l'aide de \adao{}}
  \label{fig:mfront:tutorial:adao:check}
\end{figure}

Une copie d'écran de l'interface de \adao{} dans \salome{} est présentée
sur la figure~\ref{fig:mfront:tutorial:adao:check}.

On peut voir sur cette figure~:
\begin{itemize}
\item en haut à gauche la décroissance de la fonctionnelle $F$ au
  cours du processus~;
\item en haut à droite les courbes expérimentales et calculées~;
\item en bas les valeurs des paramètres finaux.
\end{itemize}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=11cm,height=10cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img19.png}
  \caption{courbes expérimentales contrainte (MPa)---déformation pour
    quatre amplitudes de déformation}
  \label{fig:mfront:tutorial:quatre-courbes:check}
\end{figure}

\paragraph{Recalage de la loi élasto-visco-plastique}
Nous allons utiliser \mtest{} (associé au comportement
élasto-visco-plastique précédent) comme moteur de simulation $H(X)$
pour chercher les valeurs des propriétés matériau de cette loi
permettant de simuler les 4 courbes contraintes-déformation
représentées en figure~\ref{fig:mfront:tutorial:quatre-courbes:check},
pour différentes amplitudes de déformation imposée~:

Il faut définir, pour \adao{}, {\em a minima}~:
\begin{itemize}
\item les paramètres à identifier $X$~;
\item leurs valeurs initiales $X^{\mathit{ini}}$~;
\item la fonction $H(X)$. 
\end{itemize}

Ici, nous choisissons de recaler les \(5\) propriétés matériau~:
$C_{1}$, $C_{2}$, $\gamma_{1}$, $\gamma_{2}$, $b$, dont les valeurs
initiales sont~:
\begin{center}
{\tt [180000., 45000.,
  4460., 340., 10.]}
\end{center}

La fonction $H(X)$ est définie par un appel direct à \mtest{}, via une
fonction \python{}, à partir des valeurs de $X$ fournies par
l'algorithme d'optimisation d'\adao{}.

Cette fonction \python{} permet d'appeler \mtest{} directement sans
passer par des fichiers intermédiaires (on retrouve les principales
commandes de \mtest{} décrites précédemment)~:
\begin{figure}[!htbp]
 \centering
 \lstinputlisting{@top_srcdir@/docs/tutorial/python/mfrontexec.comm}
  \caption{fonction python d'appel à \mfront{}}
  \label{fig:tutorial:mfrontexec}
\end{figure}

L'opérateur $H(X)$ est défini par la fonction python qui a pour nom
$\text{DirectOperator}$ par convention dans \adao{}.

La transcription des instructions de \mtest{} définissant les données
dans la fonction~{\tt Courbe} est directe~:

{\tt @MaterialProperty<constant> 'Para' valeur } devient~:

{\tt m.setMaterialProperty('Para',valeur)}

{\tt m} étant une instance de la classe {\tt Mtest}.

Les arguments d'entrée de la fonction {\tt Courbe} sont ici~:
\begin{itemize}
\item les paramètres en cours d'identification {\tt xx}~;
\item la liste d'instants {\tt linst}~;
\item le dictionnaire python  {\tt dico} contenant la description du chargement.
\end{itemize}

Le chargement correspondant à chaque essai 
est en effet décrit par un dictionnaire dont les clés 
sont les instants 
et les valeurs sont les valeurs des déformations imposées.

Ces valeurs sont extraites ici d'un fichier annexe ( {\tt char.py} ).

Les lignes 6 à 19 permettent de mettre ces données (déformations imposées en 
fonction du temps pour les 4 essais) sous forme de 4 dictionnaires python.

Dans la fonction~{\tt Courbe},~l'instruction  
{\tt m.setImposedStrain(’EXX ’,dico) } permet d'imposer l'évolution de la 
composante XX des déformations en fonction du temps.

Quelques instructions supplémentaires permettent d'exécuter le calcul pas à pas,
pour chaque instant, en gérant la reprise d'un instant à l'autre~:

\begin{itemize}
\item {\tt     s  = MTestCurrentState() } définit l'état courant~;
\item {\tt     wk = MTestWorkSpace()   }    définit l'espace de travail~;
\item {\tt     m.completeInitialisation() }  initialise le calcul~;
\item {\tt     m.initializeCurrentState(s) } initialise l'état courant~;
\item {\tt     m.initializeWorkSpace(wk)  } initialise l'espace de travail~;
\item {\tt     m.execute(s,wk,linst[i],linst[i+1])  } calcule un pas de temps.
\end{itemize}

Le résultat de la fonction $\text{DirectOperator}$ est un vecteur 
$\text{Y=H(X)}$ qui est transmis à l'algorithme d'optimisation pour évaluer
la fonctionnelle, et ses gradients par différences finies.

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=15.998cm,height=9.998cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img20.png}
  \caption{Copie d'écran \adao{} du recalage sur 4 courbes cycliques }
  \label{fig:mfront:tutorial:adao-quatre-courbes:check}
\end{figure}

La figure~\ref{fig:mfront:tutorial:adao-quatre-courbes:check} présente
une copie d'écran illustrant les résultats de l'optimisation. On peut
y voir~:
\begin{itemize}
\item en haut à gauche la décroissance de la fonctionnelle $F$ au
  cours du processus~;
\item en haut à droite les courbes $\sigma =f(t)$ expérimentales et
  calculées~;
\item en bas à droite les valeurs des paramètres finaux~;
\item en bas à gauche le résultat de l'optimisation (courbes
  expérimentales et simulées quasi-confondues)
\end{itemize}


\subsection{Utilisation dans Code\_Aster}

\subsubsection{Modification du fichier de commandes}

Une fois le comportement défini dans \mfront, et compilé de façon habituelle :

{\tt mfront -{}-obuild -{}-interface=aster Chaboche.mfront }

une bibliothèqe dynamique est produite :

{\tt libAsterBehabviour.so }

Avant de l'utiliser dans un calcul de structures avec \aster, il est
conseillé d'effectuer les premiers tests sur un point matériel à
l'aide de \mtest.

Ensuite, tout est prêt pour une étude avec \aster. 
Pour une description complète, 
on pourra consulter la notice d'utilisation \cite{code_notice_2014}.

Pour cela, il suffit de fournir comme donnée de l'étude
 le fichier {\tt libAsterBehabviour.so }
(fichier de type "nom" dans {\tt astk }).

Dans le fichier de commandes, il suffit de modifier deux points :

Dans la commande {\tt  DEFI\_MATERIAU}, il faut ajouter :

\begin{minipage}[t]{0.9\linewidth}

{\tt .......=DEFI\_MATERIAU(
UMAT=\_F( C1 = ... ,  C2 = ... ,   C3 = ... , ),
}
\end{minipage}

On fournit les propriétés matériau {\tt Ci} dans l'ordre où elles sont 
définies dans le fichier \mfront.

Par exemple pour le comportement élastoplastique de Chaboche, on donnera~:

\begin{flushleft}
  \lstinputlisting{@top_srcdir@/docs/tutorial/python/defimateriau.py}
\end{flushleft}


Le mot clé {\tt NB\_VALE } permet d'optimiser le temps de lecture des propriétés.

Le deuxième endroit à modifier est le mot-clé {\tt COMPORTEMENT } dans les 
commandes globales de calcul ({\tt STAT\_NON\_LINE}, 
{\tt DYNA\_NON\_LINE}, {\tt SIMU\_POINT\_MAT}, ...),

Le comportement a pour nom « MFRONT ». On spécifie donc dans ces commandes :

\begin{flushleft}
  \lstinputlisting{@top_srcdir@/docs/tutorial/python/comportement.comm}
\end{flushleft}

Comme dans l'exemple ci-dessus, il est possible d'ajouter le mot-clé
{\tt DEFORMATION} pour effectuer un calcul en grandes déformations
logarithmiques ou le mot-clé {\tt ITER\_INTE\_PAS} par exemple pour
permettre un redécoupage local du pas de temps.

\subsubsection{Exemple de résultats}

\begin{figure}[!h]
  \begin{minipage}[b]{0.4\linewidth}
  \centering
  \includegraphics[width=8cm,height=9cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/hayhurst.png}
  \caption{déformation maxi--- temps }
  \label{fig:courbes-fluage}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.5\linewidth}
  \centering
  \includegraphics[width=9cm,height=9cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/Hayhurstiso.png}
  \caption{ \aster --- \mfront }
  \label{fig:iso-fluage}
  \end{minipage}
\end{figure}

\begin{table}
  \label{temps-calcul}
  \resizebox{\linewidth}{!}{
    \begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c | }
      \hline
      Éprouvette entaillée 2D axi& MFRONT impl& MFRONT impl  & MFRONT expl & Aster impl & Aster impl& Aster expl\\
      & J prog     &  J num       & RK4/5       &  J prog    & J num     & RK2/1 \\
      \hline
      Nb de pas de temps       &   601               &   601                   & 4011             & 601             &  601             &       4011 \\
      \hline
      Nb itérations Newton     &   1818        &       1810                   &  17493            &  2479          &  1832             &      17495 \\
      \hline
      Temps CPU                &    3mn5s      &       3mn19s                 &    32mn21s        &   8mn40s       & 8mn53s           &   46mn37s  \\
      \hline
    \end{tabular}
  }
  \caption{comparaison des temps de calcul}
\end{table}

En guise d'illustration, les résultats d'un calcul de fluage sur une
éprouvette entaillée (maillage axisymétrique, 3300 DDL) avec \aster{}
sont donnés sur les figures \ref{fig:courbes-fluage}
et~\ref{fig:iso-fluage}.

La comparaison des temps CPU est nettement en faveur de \mfront{},
détaillés au tableau~\ref{temps-calcul}. Notons que même l’intégration
implicite avec jacobienne numérique est efficace.

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "tutoriel"
%%% End: