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%%	Fichier	   : introduction
%%	Auteur     : th202608@pleiades077.intra.cea.fr
%%	Date       : 29 avril 2014
%%	Répertoire : /home/th202608/Documents/notes/2014/TutorielMFront/
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\section{Introduction}

L'objet de ce document est de compléter la documentation de référence
\mfront{}. Celle-ci se compose aujourd'hui de~:
\begin{itemize}
\item une présentation générale et un document de référence sur
  l'écriture de propriétés matériau et de modèles
  physico-chimiques~\cite{helfer_generateur_2013-1}~;
\item un document de référence sur l'écriture de lois de comportement
  mécanique~\cite{helfer_generateur_2013}~;
\item différents documents, distribués avec \mfront{}, qui décrivent
  les interfaces à différents codes aux éléments finis (\castem{},
  \aster{} et \zebulon{} notamment)~;
\item différents supports de formation, eux aussi distribués avec
  \mfront{}.
\end{itemize}

L'ensemble des ces documents est disponible sur le site officiel de
\mfront{}~:
\begin{center}
  \href{http://tfel.sourceforge.net}{http://tfel.sourceforge.net}
\end{center}

Par ailleurs, les utilisateurs de \aster{} disposent déjà de
documentation propre décrivant l'utilisation de
\mfront{}~\cite{code_notice_2014,code_mfront01_2014,code_mfront02_2014,code_mfront03_2014}.

L'objet du présent document est de permettre aux nouveaux utilisateurs
de découvrir pas à pas comment une loi de comportement mécanique peut
être implantée avec \mfront{}. Pour les applications, nous utiliserons
dans un premier temps des simulations sur point matériel avec \mtest{}
(logiciel livré avec \mfront{}) puis, dans un second temps, des
simulations par éléments finis, en utilisant soit \aster{}, soit
\castem{}.

\subsection{Comment écrire une loi de comportement~:
  un exemple très simple}

Dans la suite, les tenseurs d'ordre \(2\) symétriques seront notés
\(\tenseur{a}\). Les opérateurs linéaires agissant sur les tenseurs
d'ordre \(2\) symétriques seront notés \(\tenseurq{D}\).

\subsubsection{La loi de comportement de \nom{Norton}}

En guise de préliminaire, prenons par exemple la loi de \nom{Norton}. Elle
est définie par~:
\[ 
\left\{
  \begin{aligned}
    \tepsilonto   &= \tepsilonel+\tepsilonvis \\
    \tsigma       &= \tenseurq{D}\,:\,\tepsilonel\\
    \tdepsilonvis &= \dot{p}\,\tenseur{n} \\
    \dot{p}       &= A\,\sigmaeq^{m}
  \end{aligned}
\right.
\]
où~:
\begin{minipage}[t]{0.9\linewidth}
  \begin{itemize}
  \item \(\tepsilonto\), \(\tepsilonel\), \(\tepsilonvis\) sont des
    variables tensorielles symétriques représentent respectivement les
    déformations totale, élastique et visqueuse~;
  \item \(\tenseur{n}=\Frac{3}{2}\,\Frac{\tenseur{s}}{\sigmaeq}\) est
    la direction d'écoulement~;
  \item \(\tenseur{s}\) est le déviateur des contraintes~;
  \item \(\sigmaeq\) est la norme de \nom{Von Mises}.
  \end{itemize}
\end{minipage}

L'opérateur d'élasticité \(\tenseurq{D}\) est calculé à partir du
module d'\nom{Young} \(E\) et du coefficient de \nom{Poisson} \(\nu\).

\subsubsection{Discrétisation implicite de la loi de \nom{Norton}}

Pour intégrer cette loi dans un calcul de structure, il faut procéder
à une discrétisation en temps, ce qui revient à définir une suite
d'instants de calcul \(\left\{t_{i}\right\}_{1\le i\le I}\).

Pour utiliser un algorithme implicite, il suffit d'écrire toutes les
quantités à l'instant \(t_{i}\) et de remplacer les dérivées en temps
par leurs incréments sur l'intervalle \(\Delta\, t=t_{i}-t_{i-1}\)~:
\[ 
\left\{
  \begin{aligned}
    \Delta\,\tepsilonel - \Delta\,\tepsilonto   + \Delta\,p\,\tenseur{n} = 0 \\
    \Delta\,p  - \Delta\,t\, A\,\sigmaeq^{m} = 0 
  \end{aligned}
\right.
\]
avec~:
\begin{minipage}[t]{0.9\linewidth}
  \begin{itemize}
  \item \(\tsigma  = \tenseurq{D}\,:\,\tepsilonel\)~;
  \item \(\tenseur{n}=\Frac{3}{2}\,\Frac{ \tenseur{s} \paren{t_{i}}} { \sigmaeq \paren{ t_{i}}}\)~.
  \end{itemize}
\end{minipage}

On obtient ainsi un système de 7 équations~: 6 équations relatives à
la décomposition additive du tenseur des déformations (en 3D), et une
équation relative à l'écoulement visco-plastique. Les 7 inconnues
sont les 6 composantes de \( \Delta \tepsilonel \) et \( \Delta p \).

La résolution implicite de ce système est effectuée par une méthode de
\nom{Newton}.

\subsubsection{Première implantation}

Voici un exemple très simple d'intégration implicite de ce modèle avec
\mfront{}~:
\begin{center}
  \begin{minipage}[h]{0.7\linewidth}
    \lstinputlisting{@top_srcdir@/docs/tutorial/mfront/norton.mfront}
  \end{minipage}
\end{center}

\paragraph{Description ligne par ligne} Un fichier \mfront{} commence
généralement par une partie déclarative décrivant l'algorithme utilisé
pour la résolution, le nom du comportement (ici \nom{Norton}),puis la liste
des propriétés matériau utilisées.  On fournit ensuite le nom des
variables internes, et la description des équations du système à
résoudre.

\begin{itemize}
\item la ligne \(1\) précise que nous allons utiliser une méthode
  d'intégration implicite~;
\item la ligne \(2\) donne le nom de la loi~;
\item la ligne \(3\) précise que l'on utilise un algorithme de
  \nom{Newton} avec jacobienne numérique~;
\item la ligne \(5\) demande le calcul de la matrice d'élasticité ~;
\item les lignes \(7\) et \(8\) définissent les propriétés matériau de la loi ~;
\item la ligne \(10\) déclare la variable interne \( p \).  Signalons
  que la variable interne {\tt eel} (tenseur déformation élastique
  \(\tepsilonel\)) est prédéfinie par \mfront{}~;
\item les lignes \(16\) à \(24\) définissent les équations à résoudre ; 
la convention de nom est la suivante~:
 pour chaque variale interne {\tt x}, l'incrément est noté {\tt dx}, et l'équation correspondante {\tt fx} ;
\item la ligne \(17\) demande le calcul de la norme de Von Mises ~;
\item les lignes \(18\) à \(21\) correspondent au calcul de la
  direction d'écoulement~;
\item la ligne \(22\) définit l'équation \(\Delta\,\tepsilonel -
  \Delta\,\tepsilonto + \Delta\,p\,\tenseur{n} = 0\).  En effet, {\tt
    feel} est initialisé à {\tt deel} et l'opérateur {\tt +=} cumule
  les valeurs (comme en langage {\tt c});
\item la ligne \(23\) définit l'équation \(\Delta\, p -
  \Delta\,t\,A\,\sigmaeq^{m}=0\). Comme précédemment, {\tt fp} est
  initialisé à {\tt dp}, et {\tt fp -= xx} est équivalent à {\tt fp =
    fp - xx} .
\item les lignes \(26\) à \(29\) permettent de calculer
  automatiquement l'opérateur tangent à partir de l'inverse de la
  matrice jacobienne, comme explicité ci-dessous.
\end{itemize}

On constate que l'écriture de la loi se limite quasiment à la
description des équations. De plus on bénéficie d'une écriture
compacte, utilisant des variables tensorielles.

Différentes méthodes d'intégration sont diponibles dans \mfront
(~\cite{helfer_generateur_2013}).  L'algorithme d'intégration utilisé
ici ({\tt Newton\-Raphson\_\-Numerical\-Jacobian}) permet une écriture
rapide, et est donc tout à fait adapté au test de modèles.

L'implantation fournit un code beaucoup plus rapide que celle d'un
algorithme explicite, mais peut toutefois être optimisée en termes de
performances.  Pour cela, il suffit d'ajouter les termes de la matrice
jacobienne (dérivées des équations par rapport aux inconnues).

De plus, la matrice tangente en sortie de l'intégration est calculée
automatiquement à partir de la matrice jacobienne, ce qui permet
d'économiser un temps de développement important et conduit à une
matrice tangente cohérente de très bonne
qualité~\cite{helfer_generateur_2013}. Tout ceci conduit, en très peu
de temps, à une intégration robuste, et une convergence très bonne. On
voit qu'il est possible de profiter de cette simplicité d'écriture
pour effectuer des variantes, des tests de modèles, etc.

\mfront{} gère la compilation de la loi, il suffit de taper dans un terminal~:
\begin{flushleft}
  {\tt
    \$ mfront -{}-obuild -{}-interface=aster norton.mfront
  }
\end{flushleft}
ou
\begin{flushleft}
  {\tt
    \$ mfront -{}-obuild -{}-interface=castem norton.mfront
  }
\end{flushleft}
suivant le code de résolution que l'on souhaite utiliser~: l'interface
{\tt aster} correspond au {\tt Code-Aster}, tandis que l'interface
{\tt castem} correspond au code {\tt Cast3M}.

Ceci génère deux répertoires~: {\tt src} et {\tt include}.

Selon l'interface, le répertoire src contient en particulier une bibliothèque dynamique~:
\begin{flushleft}
  {\tt
    src/libAsterBehaviour.so
  }
\end{flushleft}
pour une exécution avec \aster{}, ou bien~ :
\begin{flushleft}
{ \tt src/libUmatBehaviour.so}
\end{flushleft}
pour une exécution avec \castem{}. Le nom {\tt Umat} est historique et
correspond au nom de la routine que l'utilisateur \castem{} devait
surcharger avant le support des appels dynamiques.

Dans le cas du code \castem{}, un répertoire nommé {\tt castem} est
créé dans la plupart des cas. Ce répertoire contient une mise en
données type de la loi de comportement pour les différentes hypothèses
de modélisation supportées.

\subsubsection{Premier test}

L'outil \mtest{} permet d'effectuer très facilement des simulations
sur point matériel, afin de calculer la réponse de la loi de
comportement à des sollicitations en contraintes ou en déformations.

\mtest{}, couplé à un logiciel d'optimisation comme \adao{}, permet de
plus d'effectuer le recalage des propriétés matériau.  Le fichier de
données de \mtest{} (nommé ici {\tt norton.mtest}) se présente de la
façon suivante~:
\begin{flushleft}
  \lstinputlisting{@top_srcdir@/docs/tutorial/mtest/norton.mtest}
\end{flushleft}
\begin{itemize}
\item la ligne \(1\) définit la bibliothèque à utiliser et le nom du
  comportement ~;
\item les lignes \(2\) à \(5\) définissent les valeurs des propriétés
  matériau de la loi ~;
\item la ligne \(6\) déclare la valeur de la température (inutile dans
  le cas présent)~;
\item les lignes \(7\) à \(8\) spécifient le chargement, sous la forme
  de composantes de contraintes ou de déformations en fonction du
  temps ;
\item la ligne \(9\) définit la discrétisation en temps, donc les
  instants calculés.
\end{itemize}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=12.959cm,height=11.448cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img1.png}  
  \caption{Réponse d'une loi de \nom{Norton} à un essai de fluage en
    traction-cisaillement}
  \label{fig:Norton:traction-cisaillement}
\end{figure}

Il suffit alors de lancer le calcul par :
\begin{flushleft}
  {\tt
    mtest norton.mtest
  }
\end{flushleft}
Ceci produit un fichier résultat { \tt norton.res } contenant les
composantes des tenseurs de déformation, de contrainte, et les
variables internes en fonction du temps. La réponse en déformation est
représentée en figure~\ref{fig:Norton:traction-cisaillement}.

\subsection{Plan de ce tutoriel}

Ce tutoriel présente en détail comment développer des lois de
comportement et ce que l'on peut attendre de \mfront{}.

La section~\ref{sec:rappels-integration} a pour but de situer
l'intégration de la loi de comportement dans le processus de calcul
d'un code par éléments finis.

La section~\ref{sec:chaboche} décrit pas à pas l'implantation en
MFront d'une loi élasto-plastique de Chaboche, puis de sa variante
visco-plastique, relativement simple, et de quelques extensions.

Enfin, la section~\ref{sec:impl-dune-loi} fournit davantage de
précisions sur l'intégration, sur la gestion des propriétés matériau,
et différentes hypothèses de calcul, en décrivant l'implantation d'une
loi viscoplastique compressible typique du combustible nucléaire.

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: tutoriel
%%% End: