%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Fichier : tutorial %% Auteur : th202608@pleiades077.intra.cea.fr %% Date : 04 avril 2014 %% Répertoire : /home/th202608/codes/pandoc/ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \documentclass[rectoverso,pleiades,pstricks,leqno,anti]{note_technique_2010} \documentclass[rectoverso,pleiades,pstricks,leqno,anti,projet]{note_technique_2010} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{xcolor} \usepackage{listings} \usepackage{array} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{common} % \gdef\label#1{\TheRealLabel{\roman{chapter}:#1}} % \gdef\ref#1{\TheRealRef{\roman{chapter}:#1}} \input{LSC} \auteurs{T.~Helfer, J.M.~Proix\(\mbox{}^{(a)}\)} \affiliation{\(\mbox{}^{(a)}\) Électricité de France, R\&D - Département Analyses Mécaniques et Acoustique} \redacteur{T.~Helfer} \verificateur{F.~Hammon (EDF R\&D AMA)} \approbateur{R.~Masson} \emetteur{M.~Bauer} %\affiliation{$(\mbox{}^{\star})$ EDF R\&D MMC} \titre{Écriture de lois de comportement avec \mfront{}~: tutoriel} \date{Décembre 2014} \numero{14-023} \indice{0} \dateversion{12/2014} \numeroaffaire{A-SICOM-A1-07} \typeaction{BE} \jalon{Documentation MFront} \domaine{DEN/DISN/SIMU} \accords{tripartite} \clients{AREVA - EDF} \programmerecherche{SICOM} \classification{DO} \motsclefs{ \mfront{} - tutoriel - loi de comportement mécanique } \codebarre{@abs_top_srcdir@/docs/tutorial/images/code-barre.pdf} \signatures{3.}{-44.}{1.05}{@abs_top_srcdir@/docs/tutorial/images/signatures.pdf} \CoupeListeDiffusion{} \diffusionexterne{ {EDF/R\&D/CHATOU} & D. Banner & 1 & Diffusion par\\ & P. Barbrault & 1 & courriel \\ {EDF/R\&D/AMA} & T. de Soza & 1 & \\ {EDF/R\&D/MMC} & P. Ollar & 1 & \\ & N. Rupin & 1 & \\ & H. Wong & 1 & \\ & C. Petry & 1 & \\ EDF/SEPTEN & N. Waeckel & 1 & \\ & C. Chauliac & 1 & \\ & H. Billat & 1 & \\ & G. Thouvenin & 1 & \\ & C. Bernaudat & 1 & \\ AREVA NP/LA DEFENSE & L. Catalani & 1 & \\ & L. Brunel & 1 & \\ AREVA NP/LYON & P. Melin & 1 & \\ & V. Bessiron & 1 & \\ & C. Garnier & 1 & \\ & V. Garat & 1 & \\ & F. Arnoux & 1 & } \diffusioninterne{ DEN/DISN/SIMU & J.P. Deffain & 1 & Diffusion par\\ & D. Caruge & 1 & courriel \\ DEN/DM2S/SEMT & X. Averty & 1 & \\ DEN/DM2S/SEMT/LM2S & S. Pascal & 1 & \\ & P. Verpeaux & 1 & \\ & A. Millard & 1 & \\ & O. Fandeur & 1 & \\ DEN/DMN & P. Yvon & 1 & \\ & M. Le Flem & 1 & \\ & F. Dalle & 1 & \\ DEN/DMN/SRMA & P. Chapelot & 1 & \\ & S. Carassou & 1 & \\ & B. Marini & 1 & \\ DEN/DMN/SRMA/LC2M & L. Nicolas & 1 & \\ & J. Garnier & 1 & \\ & S. Vincent & 1 & \\ & L. 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Plancq & & \\ DEN/DEC/SESC/LSC & Tous & & } \resumecea{ Ce document est un tutoriel sur l'écriture des lois de comportement mécanique avec \mfront{}. Deux lois sont traitées~: \begin{enumerate}[-] \item une loi élasto-(visco)-plastique typique des métaux~; \item une loi élasto-viscoplastique isotrope compressible typique du combustible nucléaire. \end{enumerate} La rédaction de ce document fait partie de la démarche de mise en open-source de \mfront{}. } \lstset{ % backgroundcolor=\color{white}, % choose the background color; you must add \usepackage{color} or \usepackage{xcolor} basicstyle=\tiny, % the size of the fonts that are used for the code breakatwhitespace=false, % sets if automatic breaks should only happen at whitespace breaklines=true, % sets automatic line breaking captionpos=b, % sets the caption-position to bottom commentstyle=\color{red}, % comment style deletekeywords={...}, % if you want to delete keywords from the given language frame=single, % adds a frame around the code keepspaces=true, % keeps spaces in text, useful for keeping indentation of code (possibly needs columns=flexible) keywordstyle=\color{blue}, % keyword style language=C++, % the language of the code morekeywords={Output Author Input Date}, % if you want to add more keywords to the set numbers=left, % where to put the line-numbers; possible values are (none, left, right) rulecolor=\color{orange}, % if not set, the frame-color may be changed on line-breaks within not-black text (e.g. comments (green here)) showspaces=false, % show spaces everywhere adding particular underscores; it overrides 'showstringspaces' showstringspaces=false, % underline spaces within strings only showtabs=false, % show tabs within strings adding particular underscores stepnumber=1, % the step between two line-numbers. 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Si l'on note \(l_{T^{\alpha}}\) et \(l_{T}\) les longueurs respectives du corps à ces deux températures, le coefficient de dilatation thermique linéique \(\alpha\paren{T}\) est défini par~: \begin{equation} \label{eq:castem:alpha} \Frac{l_{T}-l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{\alpha}}}=\alpha\paren{T}\,\paren{T-T^{\alpha}} \end{equation} Dans le cas des petites déformations, l'équation~\eqref{eq:castem:alpha} définit une déformation associée à la dilatation thermique~: \[ \epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T}=\alpha\paren{T}\,\paren{T-T^{\alpha}} \] Cette déformation prend comme état de référence la longueur du corps à la température \(l_{T^{\alpha}}\). Lors d'un calcul thermo-mécanique, on suppose généralement que la température initiale \(T_{i}\) est supposée être celle à laquelle la géométrie est fournie. Il est donc nécessaire de modifier la définition de la dilatation thermique pour que l'état de référence soit la géométrie initiale, de longueur \(l_{i}\). Pour cela, nous pouvons définir la déformation thermique \(\epsilonth_{T^{i}}\paren{T}\) du corps à la température \(T\) comme la déformation qu'il aurait si aucune contrainte ne s'exerçait sur lui par la relation~: \[ \epsilonth_{T^{i}}\paren{T}=\Frac{l_{T}-l_{T^{i}}}{l_{T^{i}}} \] En introduisant la longueur de référence \(l_{T^{\alpha}}\), nous obtenons~: \[ \begin{aligned} \epsilonth_{T^{i}}\paren{T}&=\Frac{l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{i}}}\,\Frac{l_{T}-l_{T^{i}}}{l_{T^{\alpha}}} = \Frac{1}{1+\Frac{l_{T^{i}}-l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{\alpha}}}}\,\left[\Frac{l_{T}-l_{T^{\alpha}}+l_{T^{\alpha}}-l_{T^{i}}}{l_{T^{\alpha}}}\right] \\ &= \Frac{1}{1+\alpha\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}\,\left[\Frac{l_{T}-l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{\alpha}}}-\Frac{l_{T^{i}}-l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{\alpha}}}\right] \\ \end{aligned} \] Nous obtenons finalement la relation~: \begin{equation} \label{eq:castem:epsilonth} \begin{aligned} \epsilonth_{T^{i}}\paren{T}&= \Frac{1}{1+\alpha\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}\,\left[\alpha\paren{T}\paren{T-T^{\alpha}}-\alpha\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}\right] \\ &= \Frac{1}{1+\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T^{i}}}\,\left[\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T}-\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T^{i}}\right] \\ \end{aligned} \end{equation} Dans la procédure {\tt STAT\_NON\_LINE} de \aster{}~\cite{pellet_calcul_2012} ou dans les différentes procédures de résolution de \castem{}, la relation précédente s'écrit de manière approchée, en négligeant le terme \(\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T^{i}}\) par rapport à \(1\)~: \[ \epsilonth_{T^{i}}\paren{T}= \epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T}-\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T^{i}} \] Au final, pour pouvoir traiter la dilatation thermique, il est nécessaire d'avoir accès à~: \begin{itemize} \item l'évolution du coefficient de dilatation thermique \(\alpha\paren{T}\) avec la température et la température de référence \(T_{\alpha}\)~; \item la température initiale à laquelle la géométrie du corps a été mesurée~; \end{itemize} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: