\section{solutions}

on donne ici des exemples de sources \mfront ~ qui correspondent aux comportemetns élasto-plastique et visco-plastique de Chaboche.

\subsection{Sources \mfront{} de la loi élasto-(visco)-plastique }
\label{sec:mfrontchaboche}

\begin{enumerate}
\item algorithme implicite avec matrice jacobienne numérique .
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=1,lastline=4]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
  En plasticité, on choisit  \( \theta = 1\) pour que le
  critère soit vérifié en fin de pas de temps (à l'instant \(t_{i} \))
\item définition des propriétés matériau (modifiables depuis le jeu de
  commandes \mtest{} ou \aster{})~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=5,lastline=14]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
\item définition des variables internes (l'écriture ci-dessus utilise
  des tableaux, ce qui permet de gérer facilement un nombre quelconque
  de variables cinématiques. Ici on en choisit \(2\))~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=15,lastline=16]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
  De plus, il faut compter en tant que variable interne (donc inconnue
  du problème à résoudre) le tenseur des déformations élastiques (ou
  plutôt son incrément {\tt deel}). L'utilisation de {\tt deel }
  plutôt que {\tt dsig } permet d'obtenir un système bien conditionné
  et permet de traiter sans précaution particulière le cas de
  propriétés élastiques variables dans le temps.

\item définition et initialisation des variables locales à
  l'algorithme (l'initialisation est faite une seule fois avant
  l'appel de l'algorithme implicite ce qui permet de gagner du temps
  de calcul)~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=21,lastline=32]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
  On calcule dans cette section le critère \( F^{el} \), qui permet
  d'éviter de lancer l'algorithme de \nom{Newton} si la solution reste
  élastique.
\item calcul des contraintes. À chaque itération de l'algorithme
  implicite et après convergence, on calcule~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=33,lastline=35]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
\item Calcul des différents termes du système d'équations~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=50,lastline=74]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
  \begin{itemize}
  \item la valeur de \(p\) est actualisée en \(t_{i} + \theta \Delta t
    \) à la ligne \(64\), ce qui permet d'actualiser l'écrouissage
    isotrope \(R\paren{p}\)~;
  \item de même, pour les variables d'écrouissage cinématique
    \(\alpha_{i}\) en ligne \(70\).  Ceci permet de calculer le
    tenseur \((\ets{\tsigma}-\ets{\tenseur{X}})\) à la ligne \(71\)~;
  \item la direction d'écoulement \(
    \tenseur{n}=\Frac{3}{2}\Frac{\tilde
      {\tsigma}-{\tenseur{X}}}{\left(\sigma-\tenseur{X}\right)_{\text{eq}}}
    \)~;
  \item la ligne \(75\) décrit simplement la décomposition additive
    des déformations ;
  \item la ligne \(76\) traduit le critère de plasticité (normalisé
    par le module d'Young pour conserver un système d'équations
    portant sur des grandeurs de la même dimension que les
    déformations ;
  \item les lignes \(77\) à \(79\) décrivent les évolutions des
    variables cinématiques~:
    \[
    \Delta\,\talpha_{i}-\Delta p \left
      (\tenseur{n} - \gamma_{i} \talpha_{i} \right ) =\tenseur{0}
    \]
  \item enfin la ligne \(82\) correspond au cas où l'incrément est
    élastique.
  \end{itemize}
\item calcul de l'opérateur tangent cohérent~: il utilise directement
  l'inverse de la matrice jacobienne~:
  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting[firstline=36,lastline=49]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
  \end{flushleft}
\end{enumerate}

La variable {\tt smt} permet de connaître le type d'opérateur tangent
demandé par le code appelant.

Cette écriture avec \mfront{} et l'algorithme implicite (et matrice
jacobienne numérique) permettent d'obtenir une résolution efficace
(plus efficace que son équivalent avec l'algorithme explicite de
\nom{Runge-Kutta}, qui s'écrit de façon similaire, en remplaçant
\og~\texttt{~feel~}~\fg{}, \og~\texttt{fp}~\fg{}, par
\og~\texttt{deel}~\fg{}, \og~\texttt{dp}~\fg{}, {\em etc.}).

\subsection{Sources \mfront{} de la loi visco-plastique }
\label{sec:mfrontviscochaboche}

Loi viscoplastique~: algorithme implicite avec matrice jacobienne programmée.
la modification concerne principalement l'équation \texttt{fp}.
De plus la matrice jacobienne a été ajoutée.

  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/viscochab.mfront}
  \end{flushleft}


\subsection{Sources \mfront{} de la loi de Lemaître }
\label{sec:mfrontlemaitre}

Loi viscoplastique~ de Lemaître : algorithme implicite avec matrice jacobienne numérique.

  \begin{flushleft}
    \lstinputlisting{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/lemaitre.mfront}
  \end{flushleft}