1%------------------------------------------------------------------------------- 2 3% This file is part of Code_Saturne, a general-purpose CFD tool. 4% 5% Copyright (C) 1998-2021 EDF S.A. 6% 7% This program is free software; you can redistribute it and/or modify it under 8% the terms of the GNU General Public License as published by the Free Software 9% Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later 10% version. 11% 12% This program is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT 13% ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS 14% FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU General Public License for more 15% details. 16% 17% You should have received a copy of the GNU General Public License along with 18% this program; if not, write to the Free Software Foundation, Inc., 51 Franklin 19% Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301, USA. 20 21%------------------------------------------------------------------------------- 22 23\programme{cfxtcl} 24 25\hypertarget{cfxtcl}{} 26 27\vspace{1cm} 28%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 29%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 30\section*{Fonction} 31%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 32%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 33 34Pour le traitement des conditions aux limites, on consid\`ere 35le syst\`eme (\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_ref_laminaire_cfxtcl}) 36 37\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_ref_laminaire_cfxtcl} 38\left\{\begin{array}{l} 39 40\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t} + \divs(\vect{Q}) = 0 \\ 41\\ 42\displaystyle\frac{\partial\vect{Q}}{\partial t} 43+ \divv(\vect{u} \otimes \vect{Q}) + \gradv{P} 44= \rho \vect{f}_v + \divv(\tens{\Sigma}^v) \\ 45\\ 46\displaystyle\frac{\partial E}{\partial t} + \divs( \vect{u} (E+P) ) 47= \rho\vect{f}_v\cdot\vect{u} + \divs(\tens{\Sigma}^v \vect{u}) 48- \divs{\,\vect{\Phi}_s} + \rho\Phi_v 49 50\end{array}\right. 51\end{equation} 52 53en tant que syst\`eme hyperbolique portant sur la variable vectorielle 54$\vect{W}=\ ^t(\rho,\vect{Q},E)$. 55 56Le syst\`eme s'\'ecrit alors~: 57\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_hyperbolique_cfxtcl} 58\displaystyle\frac{\partial \vect{W}}{\partial t} 59+ \displaystyle\sum\limits_{i=1}^3 60\frac{\partial}{\partial x_i}\vect{F}_i(\vect{W}) 61= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^3 62\frac{\partial}{\partial x_i}\vect{F}_i^D(\vect{W},\nabla \vect{W}) 63+ \vect{\mathcal{S}} 64\end{equation} 65o\`u les $\vect{F}_i(\vect{W})$ sont les vecteurs flux convectifs 66et les $\vect{F}_i^D(\vect{W})$ sont les vecteurs flux diffusifs 67dans les trois directions d'espace, 68et $\vect{\mathcal{S}}$ est un terme source. 69 70La d\'emarche classique de \CS est adopt\'ee~: on impose les conditions 71aux limites en d\'eterminant, pour chaque variable, des valeurs num\'eriques 72de bord. Ces valeurs sont calcul\'ees de telle fa\c con que, lorsqu'on 73les utilise dans les formules standard donnant les flux discrets, on obtienne 74les contributions souhait\'ees au bord. 75 76Pour rendre compte des flux convectifs (aux entr\'ees et aux sorties en particulier), 77on fait abstraction des flux diffusifs et des termes 78sources pour r\'esoudre un probl\`eme de Riemann qui 79fournit un vecteur d'\'etat au bord. Celui-ci permet de calculer un flux, 80soit directement (par les formules discr\`etes standard), 81soit en appliquant un sch\'ema de Rusanov (sch\'ema de flux d\'ecentr\'e). 82 83En paroi, on r\'esout \'egalement, dans certains cas, un probl\`eme de 84Riemann pour d\'eterminer une pression au bord. 85 86See the \doxygenfile{cfxtcl_8f90.html}{programmers reference of the dedicated subroutine} for further details. 87 88%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 89%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 90\section*{Discr\'etisation} 91%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 92%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 93 94%================================= 95\subsection*{Introduction} 96%================================= 97 98%--------------------------------- 99\subsubsection*{Objectif} 100%--------------------------------- 101 102On r\'esume ici les diff\'erentes conditions aux limites utilis\'ees pour l'algorithme 103compressible afin de fournir une vue d'ensemble. Pour atteindre cet objectif, 104il est n\'ecessaire de faire r\'ef\'erence \`a des \'el\'ements relatifs 105\`a la discr\'etisation et au mode d'implantation des conditions aux limites. 106 107Lors de l'implantation, on a cherch\'e \`a pr\'eserver la coh\'erence avec l'approche 108utilis\'ee dans le cadre standard de l'algorithme incompressible de \CS. 109Il est donc conseill\'e d'avoir pris connaissance du mode de traitement des conditions 110aux limites incompressibles avant d'aborder les d\'etails de l'algorithme compressible. 111 112Comme pour l'algorithme incompressible, les conditions aux limites sont impos\'ees 113par le biais d'une valeur de bord associ\'ee \`a chaque variable. De plus, 114pour certaines 115fronti\`eres (parois \`a temp\'erature impos\'ee ou \`a flux thermique impos\'e), 116on dispose de deux valeurs de bord pour la m\^eme variable, l'une d'elles \'etant d\'edi\'ee au calcul du 117flux diffusif. 118Enfin, sur certains types d'entr\'ee et de sortie, on d\'efinit \'egalement 119une valeur du flux convectif au bord. 120 121Comme pour l'algorithme incompressible, l'utilisateur peut d\'efinir, 122pour chaque face 123de bord, des conditions aux limites pour chaque variable, mais on conseille cependant 124d'utiliser uniquement les types pr\'ed\'efinis 125d\'ecrits ci-apr\`es (entr\'ee, 126sortie, paroi, sym\'etrie) qui ont l'avantage d'assurer la coh\'erence entre 127les diff\'erentes variables et les diff\'erentes \'etapes de calcul. 128 129 130%--------------------------------- 131\subsubsection*{Parois} 132%--------------------------------- 133 134{\bf Pression} : on doit disposer d'une condition pour le calcul du gradient 135qui intervient dans l'\'etape de quantit\'e de mouvement. 136On dispose de deux types de condition, au choix de l'utilisateur~: 137\begin{itemize} 138\item par d\'efaut, la pression impos\'ee au bord est proportionnelle 139\`a la valeur interne (la pression au bord est obtenue comme solution 140d'un probl\`eme de Riemann sur les \'equations d'Euler 141avec un \'etat miroir~; on distingue les cas de choc et de 142d\'etente et, dans le cas d'une d\'etente trop forte, une condition de 143Dirichlet homog\`ene est utilis\'ee pour \'eviter de voir appara\^itre une 144pression n\'egative), 145\item si l'utilisateur le souhaite (\var{ICFGRP=1}), le gradient de 146pression est impos\'e \`a partir du profil de pression hydrostatique. 147\end{itemize} 148\bigskip 149 150{\bf Vitesse et turbulence}~: traitement standard (voir la documentation des 151sous-programmes \fort{condli} 152et \fort{clptur}). 153 154{\bf Scalaires passifs}~: traitement standard 155(flux nul par d\'efaut impos\'e dans \fort{typecl}). 156 157{\bf Masse volumique}~: traitement standard des scalaires 158(flux nul par d\'efaut impos\'e dans \fort{typecl}). 159 160{\bf \'Energie et temp\'erature\footnote{Le gradient de temp\'erature est 161{\it a priori} inutile, mais peut \^etre requis par l'utilisateur.}}~: 162traitement standard des scalaires 163(flux nul par d\'efaut impos\'e dans \fort{typecl}), hormis pour le 164calcul du flux diffusif dans le cas de parois \`a temp\'erature impos\'ee 165ou \`a flux thermique impos\'e. 166 167{\bf Flux diffusif pour l'\'energie en paroi}~: 168l'utilisateur peut choisir (dans \fort{uscfcl}) entre une temp\'erature de paroi impos\'ee 169et un flux thermique diffusif (ou "conductif") impos\'e. 170S'il ne pr\'ecise rien, on consid\`ere que la paroi est adiabatique 171(flux thermique diffusif impos\'e et de valeur nulle). 172Dans tous les cas, il faut donc disposer d'un moyen d'imposer le flux diffusif 173souhait\'e. Pour cela, on d\'etermine une valeur de bord pour l'\'energie 174qui, introduite dans la formule donnant le flux discret, permettra 175d'obtenir la contribution attendue 176(voir le paragraphe~\ref{Cfbl_Cfxtcl_section_cl_flux_diffusif_energie_cfener}). 177Conform\'ement \`a l'approche classique de \CS, cette valeur est 178stock\'ee sous la forme d'un couple de coefficients 179(de type \var{COEFAF}, \var{COEFBF}). 180Il est important de souligner que cette valeur de bord 181ne doit \^etre utilis\'ee que pour le calcul 182du flux diffusif~: dans les autres situations pour lesquelles 183une valeur de bord de l'\'energie ou de la temp\'erature est requise 184(calcul de gradient par exemple), on utilise une condition de flux nul 185(traitement standard des scalaires). Pour cela, on dispose d'une 186seconde valeur de bord qui est stock\'ee au moyen d'un 187couple de coefficients (\var{COEFA}, \var{COEFB}) distinct du pr\'ec\'edent. 188 189{\bf Flux convectifs}~: le flux de masse dans la direction normale \`a la paroi est 190pris nul. De ce fait, les flux convectifs seront nuls quelle que soit les valeurs 191de bord impos\'ees pour les diff\'erentes variables transport\'ees. 192 193%--------------------------------- 194\subsubsection*{Sym\'etrie} 195%--------------------------------- 196 197Les conditions appliqu\'ees sont les conditions classiques de l'algorithme 198incompressible (vitesse normale nulle, flux nul pour les autres variables). 199 200Elles sont impos\'ees dans le sous-programme \fort{typecl} essentiellement. Pour 201la pression, la condition de flux nul est impos\'ee dans \fort{cfxtcl} 202(au d\'ebut des d\'eveloppements, on appliquait le m\^eme traitement qu'en paroi, 203mais une condition de flux nul a \'et\'e pr\'ef\'er\'ee afin de s'affranchir des 204probl\`emes potentiels dans les configurations 2D). 205 206 207%--------------------------------- 208\subsubsection*{Entr\'ees et sorties} 209%--------------------------------- 210 211On obtient, par r\'esolution d'un probl\`eme de Riemann au bord, compl\'et\'e par 212des relations de thermodynamique (\fort{uscfth}), des valeurs de bord pour toutes 213les variables (on suppose qu'en entr\'ee, toutes les composantes de la vitesse 214sont fournies~; elles sont suppos\'ees nulles par d\'efaut, hormis pour les 215entr\'ees \'a $(\rho,\vect{u})$ impos\'es, \var{IERUCF}, pour lesquelles il faut 216fournir la vitesse explicitement). 217 218Ces valeurs de bord sont utilis\'ees de deux fa\c cons~: 219\begin{itemize} 220\item elles sont utilis\'ees pour calculer les flux convectifs, en faisant 221appel au sch\'ema de Rusanov (sauf en sortie supersonique)~; ces flux sont 222directement int\'egr\'es au second membre des \'equations \`a r\'esoudre. 223\item elles servent de valeur de Dirichlet dans toutes les autres configurations 224pour lesquelles une valeur de bord est requise (calcul de flux diffusif, 225calcul de gradient...) 226\end{itemize} 227 228Deux cas particuliers~: 229\begin{itemize} 230\item aux entr\'ees ou sorties pour lesquelles toutes les variables sont impos\'ees 231(\var{IESICF}), on utilise une condition de Neumann homog\`ene pour la pression 232(hormis pour le calcul du gradient intervenant dans l'\'equation de la quantit\'e 233de mouvement, qui est pris en compte par le flux convectif d\'etermin\'e par le 234sch\'ema de Rusanov). Ce choix est arbitraire (on n'a pas test\'e le comportement 235de l'algorithme si l'on conserve une condition de Dirichlet sur la pression), mais 236a \'et\'e fait en supposant qu'une condition de Neumann homog\`ene serait {\it a 237priori} moins d\'estabilisante, dans la mesure o\`u, pour ce type de fronti\`ere, 238l'utilisateur peut imposer une valeur de pression tr\`es diff\'erente de 239celle r\'egnant \`a l'int\'erieur du domaine (la valeur impos\'ee est utilis\'ee 240pour le flux convectif). 241\item pour les grandeurs turbulentes et les scalaires utilisateur, si 242le flux de masse est entrant et que l'on a fourni 243une valeur de Dirichlet (\var{RCODCL(*,*,1)} dans \fort{uscfcl}), 244on l'utilise, pour le calcul du flux convectif et du flux diffusif~; 245sinon, on utilise une condition de Neumann homog\`ene (le concept 246de sortie de type 9 ou 10 est couvert par cette approche). 247\end{itemize} 248 249 250 251%================================= 252\subsection*{Probl\`eme de Riemann au bord} 253\label{Cfbl_Cfxtcl_section_pb_riemann_cfener} 254%================================= 255 256%--------------------------------- 257\subsubsection*{Introduction} 258%--------------------------------- 259 260On cherche \`a obtenir un \'etat au bord, 261pour les entr\'ees, les sorties et les parois. 262 263Pour cela, on fait abstraction des flux diffusifs et des sources. 264Le syst\`eme r\'esultant est alors appel\'e syst\`eme 265d'\'equations d'Euler. On se place de plus dans un 266rep\`ere orient\'e suivant la normale au bord consid\'er\'e 267$(\vect{\tau}_1,\vect{\tau}_2,\vect{n})$ 268et l'on ne consid\`ere que les variations suivant cette normale. 269Le syst\`eme devient donc~: 270\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_euler_cfxtcl} 271\begin{array}{lllll} 272\displaystyle\frac{\partial \vect{W}}{\partial t} 273+ \frac{\partial}{\partial n}\vect{F}_n(\vect{W}) 274= 0 275&\text{avec} 276& \vect{F}_n(\vect{W}) 277 = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^3 n_i \vect{F}_i(\vect{W}) 278& \text{et} 279& \displaystyle\frac{\partial}{\partial n} 280= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^3 n_i \frac{\partial}{\partial x_i} 281\end{array} 282\end{equation} 283 284Pour d\'eterminer les valeurs des variables au bord, on recherche 285l'\'evolution du probl\`eme instationnaire suivant, 286appel\'e probl\`eme de Riemann~: 287 288\unitlength=1cm 289\begin{picture}(20,2.6) 290\put(1.5,0){\framebox(12,2.5){}} 291\put(7.5,0){\line(0,1){2.5}} 292\put(7.5,2.2){bord} 293\put(7.5,1.7){\vector(1,0){0.7}} 294\put(8.25,1.65){$\vect{n}$} 295\multiput(7.5,0)(0,0.5){4}{\line(2,3){.4}} 296\put(2,1.2){$\begin{array}{c} 297\text{int\'erieur}\\ 298\vect{W}_{\,i}\\ 299\text{\'etat constant dans la cellule $i$} 300\end{array}$} 301\put(9.5,1.2){$\begin{array}{c} 302\text{ext\'erieur}\\ 303\vect{W}_{\,\infty}\\ 304\text{\'etat constant} 305\end{array}$} 306\end{picture} 307 308avec $\vect{W}_{\,\infty}$ d\'ependant du type de bord et diff\'erent 309de $\vect{W}_{\,i}$ {\it a priori}. 310 311\vspace{0.3cm} 312 313Pour r\'esoudre ce probl\`eme de Riemann, on utilisera les variables 314non-conservatives $\widetilde{\vect{W}}=\ ^t(\rho, \vect{u}, P)$ 315et l'on retrouvera l'\'energie gr\^ace \`a l'\'equation d'\'etat. 316 317Pour all\'eger l'\'ecriture, dans le pr\'esent 318paragraphe~\ref{Cfbl_Cfxtcl_section_pb_riemann_cfener}, 319on notera aussi $\vect{W}$ le vecteur 320$^t(\rho, \vect{u}, P)$ et $\vect{u} = \vect{u}_\tau + u\,\vect{n}$ 321(en posant $u=\vect{u} \cdot \vect{n}$ 322et $\vect{u}_\tau = \vect{u} - (\vect{u} \cdot \vect{n})\vect{n}$). 323 324La solution est une suite d'\'etats constants, dont les valeurs 325d\'ependent de $\vect{W}_{\,i}$ et $\vect{W}_{\,\infty}$, 326s\'epar\'es par des ondes se d\'epla\c cant \`a des vitesses donn\'ees 327par les valeurs propres du syst\`eme $(\lambda_i)_{i=1\ldots 5}$. 328On repr\'esente les caract\'eristiques du syst\`eme sur le sch\'ema suivant~: 329 330\unitlength=1cm 331\begin{picture}(20,3.5) 332\put(3,0){\vector(1,0){8}} 333\put(7,0){\vector(0,1){3}} 334\put(11,0.1){$x$} 335\put(6.8,2.9){$t$} 336\put(7,3.1){bord} 337\put(7,2.6){\vector(1,0){0.5}} 338\put(7.55,2.65){$\vect{n}$} 339\multiput(7,0)(0,0.5){5}{\line(2,3){.4}} 340\put(7,0){\line(-1,2){1.4}} 341\put(4,2.9){$\lambda_1=u-c$} 342\put(7,0){\qbezier[15](0,0)(0.7,1.4)(1.4,2.8)} 343\put(8.3,2.9){$\lambda_{2,3,4}=u$} 344\put(7,0){\line(2,1){3}} 345\put(9.5,1.6){$\lambda_5=u+c$} 346\put(5,1.5){$\vect{W}_{\,i}$} 347\put(6.3,2){$\vect{W}_{\,1}$} 348\put(8.4,1.6){$\vect{W}_{\,2}$} 349\put(9.5,0.5){$\vect{W}_{\,\infty}$} 350\end{picture} 351 352Comme valeurs des variables au bord, on prendra les valeurs correspondant \`a 353l'\'etat constant qui contient le bord ($\vect{W}_1$ dans l'exemple 354pr\'ec\'edent). 355 356Il faut remarquer que la solution du probl\`eme de Riemann d\'epend de la 357thermodynamique et devra donc \^etre calcul\'ee et cod\'ee 358par l'utilisateur si la thermodynamique n'a pas \'et\'e pr\'evue 359(en version 1.2, la seule 360thermodynamique pr\'evue est celle des gaz parfaits). 361 362 363 364%--------------------------------- 365\subsubsection*{En paroi, pour la condition de pression (sans effet de gravit\'e)} 366%--------------------------------- 367 368Pour les faces de paroi, on d\'efinit \`a l'ext\'erieur du domaine 369un \'etat miroir $\vect{W}_{\,\infty}$ par~: 370\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_paroi_cfxtcl} 371\begin{array}{lllll} 372\vect{W}_{\,i} &=& 373\left(\begin{array}{l} 374\rho_i\\ {\vect{u}_\tau}_i\\ u_i\\ P_i 375\end{array}\right) 376\qquad 377\vect{W}_{\,\infty} &=& 378\left(\begin{array}{lll} 379\rho_\infty &=& \rho_i\\ 380{\vect{u}_\tau}_\infty &=& {\vect{u}_\tau}_i\\ 381u_\infty &=& -u_i\\ 382P_\infty &=& P_i 383\end{array}\right) 384\end{array} 385\end{equation} 386 387\vspace{0.5cm} 388 389Les solutions d\'ependent de l'orientation de la vitesse dans la cellule 390de bord~: 391 392\vspace{0.5cm} 393 394\begin{enumerate} 395 396\item Si $u_i \leqslant 0$, 397la solution est une double d\'etente sym\'etrique. 398 399\unitlength=1cm 400\begin{picture}(20,4) 401\put(0,0.5){\vector(1,0){8}} 402\put(4,0.5){\vector(0,1){3}} 403\put(8,0.6){$x$} 404\put(3.8,3.4){$t$} 405\put(4,3.7){paroi} 406\put(4,3.2){\vector(1,0){0.5}} 407\put(4.55,3.15){$\vect{n}$} 408\multiput(4,0.5)(0,0.5){5}{\line(2,3){.4}} 409\put(4,0.5){\line(-1,1){2.5}} 410\put(4,0.5){\line(-5,4){2.8}} 411\put(4,0.5){\line(-4,5){2}} 412\put(0,3.1){$\lambda_1=u-c\ (<0)$} 413\put(4.2,2.7){$\lambda_{2,3,4}=0$} 414\put(4,0.5){\line(1,1){2.5}} 415\put(4,0.5){\line(5,4){2.8}} 416\put(4,0.5){\line(4,5){2}} 417\put(6.5,3.1){$\lambda_5=u+c\ (>0)$} 418\put(1.5,1.5){$\vect{W}_{\,i}$} 419\put(3.1,2){$\vect{W}_{\,1}$} 420\put(4.5,2){$\vect{W}_{\,2}$} 421\put(6,1.5){$\vect{W}_{\,\infty}$} 422\put(8.5,2){$\vect{W}_{\,paroi} = \vect{W}_{\,1} = \vect{W}_{\,2}$} 423\put(12,2) 424{$\left\{\begin{array}{l} 425\rho_p = \rho_1 = \rho_2\\ 426u_p = u_1 = u_2\\ 427P_p = P_1 = P_2 428\end{array}\right.$} 429\end{picture} 430 431La conservation de la vitesse tangentielle \`a travers la 1-onde donne 432${\vect{u}_\tau}_p = {\vect{u}_\tau}_i$. 433Par des consid\'erations de sym\'etrie on trouve $u_p = 0$. 434Puis on obtient $\rho_p$ et $P_p$ en \'ecrivant la conservation 435des invariants de Riemann \`a travers la 1-d\'etente~: 436\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_invariants_detente_cfxtcl} 437\begin{array}{lll} 438\left\{\begin{array}{l} 439u_1 + \displaystyle\int_0^{\rho_1} \frac{c}{\rho} d\rho 440= u_i + \displaystyle\int_0^{\rho_i} \frac{c}{\rho} d\rho\\ 441\\ 442s_1 = s_i 443\end{array}\right. 444& 445\Rightarrow 446\left\{\begin{array}{ll} 447\displaystyle\int_{\rho_i}^{\rho_1} \frac{c}{\rho} d\rho = u_i 448& \Rightarrow \rho_p=\rho_1\\ 449\\ 450s(P_1,\rho_1) = s(P_i,\rho_i) 451& \Rightarrow P_p=P_1 452\end{array}\right. 453\end{array} 454\end{equation} 455 456\vspace{0.5cm} 457 458\item Si $u_i > 0$, 459la solution est un double choc sym\'etrique. 460 461\unitlength=1cm 462\begin{picture}(20,4) 463\put(0,0.5){\vector(1,0){8}} 464\put(4,0.5){\vector(0,1){3}} 465\put(8,0.6){$x$} 466\put(3.8,3.4){$t$} 467\put(4,3.7){paroi} 468\put(4,3.2){\vector(1,0){0.5}} 469\put(4.55,3.15){$\vect{n}$} 470\multiput(4,0.5)(0,0.5){5}{\line(2,3){.4}} 471\put(4,0.5){\line(-1,1){2.5}} 472\put(0,3.1){$\lambda_1=u-c\ (<0)$} 473\put(4.4,2.7){$\lambda_{2,3,4}=0$} 474\put(4,0.5){\line(1,1){2.5}} 475\put(6.5,3.1){$\lambda_5=u+c\ (>0)$} 476\put(1.5,1.5){$\vect{W}_{\,i}$} 477\put(3,2){$\vect{W}_{\,1}$} 478\put(4.7,2){$\vect{W}_{\,2}$} 479\put(6,1.5){$\vect{W}_{\,\infty}$} 480\put(8.5,2){$\vect{W}_{\,paroi} = \vect{W}_{\,1} = \vect{W}_{\,2}$} 481\put(12,2) 482{$\left\{\begin{array}{l} 483\rho_p = \rho_1 = \rho_2\\ 484u_p = u_1 = u_2\\ 485P_p = P_1 = P_2 486\end{array}\right.$} 487\end{picture} 488 489De m\^eme que pr\'ec\'edemment, 490on trouve ${\vect{u}_\tau}_p = {\vect{u}_\tau}_i$ et $u_p = 0$, 491puis $\rho_p$ et $P_p$ en \'ecrivant les relations de saut 492\`a travers le 1-choc~: 493\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_saut_choc_cfxtcl} 494\begin{array}{lll} 495\left\{\begin{array}{l} 496\rho_1 \rho_i (u_1 - u_i)^2 497= (P_1 - P_i)(\rho_1 - \rho_i)\\ 498\\ 4992\rho_1 \rho_i (\varepsilon_1 - \varepsilon_i) 500= (P_1 + P_i)(\rho_1 - \rho_i) 501\end{array}\right. 502& \text{avec } \varepsilon = \varepsilon(P,\rho) 503& 504\Rightarrow 505\left\{\begin{array}{l} 506\rho_p=\rho_1\\ 507\\ 508P_p=P_1 509\end{array}\right. 510\end{array} 511\end{equation} 512 513\bigskip 514Pour les gaz parfaits, 515avec $M_i = \displaystyle\frac{\vect{u}_i \cdot \vect{n}}{c_i}$ 516(Nombre de Mach de paroi), on a~: 517 518\begin{itemize} 519 520\item Cas d\'etente ($M_i \leqslant 0$)~:\\ 521$$ 522\begin{array}{l} 523\left\{\begin{array}{lll} 524P_p=0 & \text{si} & 1 + \displaystyle\frac{\gamma-1}{2}M_i<0\\ 525P_p = P_i \left(1 + \displaystyle\frac{\gamma-1}{2}M_i\right) 526^{\frac{2\gamma}{\gamma-1}} & \text{sinon}\\ 527\end{array}\right.\\ 528\\ 529\rho_p=\rho_i \left(\displaystyle\frac{P_p}{P_i}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\\ 530\end{array} 531$$ 532 533\item Cas choc ($M_i > 0$)~:\\ 534$$ 535\begin{array}{l} 536P_p = P_i \left(1 + \displaystyle\frac{\gamma(\gamma+1)}{4}M_i^2 537+\gamma M_i \displaystyle\sqrt{1+\displaystyle\frac{(\gamma+1)^2}{16}M_i^2}\right) 538\\ 539\\ 540\rho_p=\rho_i \left(\displaystyle\frac{P_p-P_i} 541{P_p-P_i-\rho_i (\vect{u}_i \cdot \vect{n})^2}\right)\\ 542\end{array} 543$$ 544 545\end{itemize} 546 547\end{enumerate} 548 549En pratique, le flux convectif normal \`a la paroi est nul et seule 550la condition de pression d\'etermin\'ee ci-dessus est effectivement 551utilis\'ee (pour le calcul du gradient sans effet de gravit\'e). 552 553%--------------------------------- 554\subsubsection*{En sortie} 555%--------------------------------- 556 557Il existe deux cas de traitement des conditions en sortie, 558selon le nombre de Mach normal \`a la face de bord 559($c_i$ est la vitesse du son dans la cellule de bord)~: 560$$M_i = \displaystyle\frac{u_i}{c_i} 561= \displaystyle\frac{\vect{u}_i \cdot \vect{n}}{c_i}$$ 562 563\paragraph{Sortie supersonique (condition ISSPCF de 564\fort{uscfcl})~:} 565$M_i \geqslant 1 \Rightarrow u_i - c_i \geqslant 0$ 566\nopagebreak 567\linebreak 568\unitlength=1cm 569\begin{picture}(20,4.5) 570\put(0,0.5){\vector(1,0){8}} 571\put(4,0.5){\vector(0,1){3}} 572\put(8,0.6){$x$} 573\put(3.8,3.4){$t$} 574\put(4,3.7){bord} 575\put(4,3.2){\vector(1,0){0.5}} 576\put(4.55,3.15){$\vect{n}$} 577\multiput(4,0.5)(0,0.5){5}{\line(2,3){.4}} 578\put(4,0.5){\line(1,2){1.4}} 579\put(5.3,3.4){$\lambda_1=u-c\ (\geqslant 0)$} 580\put(4,0.5){\qbezier[20](0,0)(1.2,1.2)(2.4,2.4)} 581\put(6.5,2.9){$\lambda_{2,3,4}=u$} 582\put(4,0.5){\line(2,1){3}} 583\put(7.1,2){$\lambda_5=u+c$} 584\put(2,2){$\vect{W}_{\,i}$} 585\put(5.2,2.5){$\vect{W}_{\,1}$} 586\put(6,2){$\vect{W}_{\,2}$} 587\put(6.5,1){$\vect{W}_{\,\infty}$} 588\put(10,2){$\vect{W}_{\,bord} = \vect{W}_{\,i}$} 589\end{picture} 590 591Toutes les caract\'eristiques sont sortantes, 592on conna\^it donc toutes les conditions au bord~: 593 594\begin{equation} 595\left\{\begin{array}{l} 596\rho_b = \rho_i\\ 597{\vect{u}_\tau}_b = {\vect{u}_\tau}_i\\ 598u_b = u_i\\ 599P_b = P_i 600\end{array}\right. 601\end{equation} 602 603\paragraph{Sortie subsonique (condition ISOPCF de 604\fort{uscfcl})~:} 605$0 \leqslant M_i < 1 \Rightarrow (u_i \geqslant 0 \text{ et } u_i - c_i < 0)$ 606 607\unitlength=1cm 608\begin{picture}(20,4.5) 609\put(0,0.5){\vector(1,0){8}} 610\put(4,0.5){\vector(0,1){3}} 611\put(8,0.6){$x$} 612\put(3.8,3.4){$t$} 613\put(4,3.7){bord} 614\put(4,3.2){\vector(1,0){0.5}} 615\put(4.55,3.15){$\vect{n}$} 616\multiput(4,0.5)(0,0.5){5}{\line(2,3){.4}} 617\put(4,0.5){\line(-1,2){1.4}} 618\put(1,3.4){$\lambda_1=u-c\ (<0)$} 619\put(4,0.5){\qbezier[15](0,0)(0.7,1.4)(1.4,2.8)} 620\put(5.3,3.4){$\lambda_{2,3,4}=u\ (\geqslant 0)$} 621\put(4,0.5){\line(2,1){3}} 622\put(6.5,2.1){$\lambda_5=u+c$} 623\put(2,2){$\vect{W}_{\,i}$} 624\put(3.3,2.5){$\vect{W}_{\,1}$} 625\put(5.4,2.1){$\vect{W}_{\,2}$} 626\put(6.5,1){$\vect{W}_{\,\infty}$} 627\put(10,2){$\vect{W}_{\,bord} = \vect{W}_{\,1}$} 628\put(12.5,2) 629{$\left\{\begin{array}{l} 630\rho_b = \rho_1\\ 631u_b = u_1\\ 632P_b = P_1 633\end{array}\right.$} 634\end{picture} 635 636On a une caract\'eristique entrante, 637on doit donc imposer une seule condition au bord 638(en g\'en\'eral la pression de sortie $P_{ext}$). 639 640On conna\^it alors $P_b = P_{ext}$ et ${\vect{u}_\tau}_b = {\vect{u}_\tau}_i$ 641(par conservation de la vitesse tangentielle \`a travers la 1-onde). 642Pour trouver les inconnues manquantes ($\rho_b$ et $u_b$) 643on doit r\'esoudre le passage de la 1-onde~: 644 645\begin{enumerate} 646 647\item Si $P_{ext} \leqslant P_i$, 648on a une 1-d\'etente. 649 650On \'ecrit la conservation 651des invariants de Riemann \`a travers la 1-d\'etente~: 652\begin{equation} 653\begin{array}{lll} 654\left\{\begin{array}{l} 655s_1 = s_i\\ 656\\ 657u_1 + \displaystyle\int_0^{\rho_1} \frac{c}{\rho} d\rho 658= u_i + \displaystyle\int_0^{\rho_i} \frac{c}{\rho} d\rho 659\end{array}\right. 660& 661\Rightarrow 662\left\{\begin{array}{ll} 663s(P_{ext},\rho_1) = s(P_i,\rho_i) 664& \Rightarrow \rho_b=\rho_1\\ 665\\ 666u_1 = u_i - \displaystyle\int_{\rho_i}^{\rho_1} \frac{c}{\rho} d\rho 667& \Rightarrow u_b = u_1 668\end{array}\right. 669\end{array} 670\end{equation} 671 672\item Si $P_{ext} > P_i$, 673on a un 1-choc. 674 675On \'ecrit les relations de saut \`a travers le 1-choc~: 676\begin{equation} 677\begin{array}{lll} 678\left\{\begin{array}{l} 679\rho_1 \rho_i (u_1 - u_i)^2 680= (P_{ext} - P_i)(\rho_1 - \rho_i)\\ 681\\ 6822\rho_1 \rho_i (\varepsilon(P_{ext},\rho_1) - \varepsilon(P_i,\rho_i)) 683= (P_{ext} + P_i)(\rho_1 - \rho_i) 684\end{array}\right. 685& 686\Rightarrow 687\left\{\begin{array}{l} 688\rho_b=\rho_1\\ 689\\ 690u_b = u_1 691\end{array}\right. 692\end{array} 693\end{equation} 694 695\bigskip 696Pour les gaz parfaits, on a~: 697\begin{itemize} 698 699\item Cas d\'etente ($P_{ext} \leqslant P_i$)~:\\ 700$$ 701\begin{array}{l} 702P_b=P_{ext}\\ 703\\ 704\rho_b=\rho_i \left(\displaystyle\frac{P_{ext}}{P_i}\right)^{\frac{1}{\gamma}} 705\end{array} 706$$ 707 708\item Cas choc ($P_{ext} > P_i$)~:\\ 709$$ 710\begin{array}{l} 711P_b=P_{ext}\\ 712\\ 713\rho_b=\rho_i \left(\displaystyle\frac{P_{ext}-P_i}{P_{ext}-P_i-\rho_i 714(\vect{u}_i \cdot \vect{n} - \vect{u}_b \cdot \vect{n})^2}\right) 715= \rho_i \left(\displaystyle\frac{(\gamma+1)P_{ext}+(\gamma-1)P_i} 716{(\gamma-1)P_{ext}+(\gamma+1)P_i}\right)\\ 717\end{array} 718$$ 719 720\end{itemize} 721 722\end{enumerate} 723 724La valeur de la masse volumique au bord intervient en particulier 725dans le flux de masse. 726 727 728%--------------------------------- 729\subsubsection*{En entr\'ee} 730%--------------------------------- 731 732L'utilisateur impose les valeurs qu'il souhaite pour les variables 733en entr\'ee~: 734$$ 735\begin{array}{lllll} 736\vect{W}_{\,ext} &=& 737\left(\begin{array}{l} 738\rho_{ext}\\ {\vect{u}_\tau}_{ext}\\ u_{ext}\\ P_{ext} 739\end{array}\right) 740\end{array} 741$$ 742 743De m\^eme que pr\'ec\'edemment, il existe deux cas de traitement 744des conditions en entr\'ee, 745pilot\'es par le nombre de Mach entrant, normalement \`a la face de bord 746(avec $c_{ext}$ la vitesse du son en entr\'ee)~: 747$$M_{ext} = \displaystyle\frac{u_{ext}}{c_{ext}} 748= \displaystyle\frac{\vect{u}_{ext} \cdot \vect{n}}{c_{ext}}$$ 749 750\paragraph{Entr\'ee supersonique (condition IESICF de 751\fort{uscfcl})~:} 752$M_{ext} \leqslant -1 \Rightarrow u_{ext} + c_{ext} \leqslant 0$ 753 754\unitlength=1cm 755\begin{picture}(20,4.5) 756\put(0,0.5){\vector(1,0){8}} 757\put(4,0.5){\vector(0,1){3}} 758\put(8,0.6){$x$} 759\put(3.8,3.4){$t$} 760\put(4,3.7){bord} 761\put(4,3.2){\vector(1,0){0.5}} 762\put(4.55,3.15){$\vect{n}$} 763\multiput(4,0.5)(0,0.5){5}{\line(2,3){.4}} 764\put(4,0.5){\line(-2,1){3}} 765\put(0,2.1){$\lambda_1=u-c$} 766\put(4,0.5){\qbezier[20](0,0)(-1.2,1.2)(-2.4,2.4)} 767\put(0,2.9){$\lambda_{2,3,4}=u$} 768\put(4,0.5){\line(-1,2){1.4}} 769\put(1,3.4){$\lambda_5=u+c\ (\leqslant 0)$} 770\put(1.5,1){$\vect{W}_{\,i}$} 771\put(2,1.7){$\vect{W}_{\,1}$} 772\put(2.2,2.5){$\vect{W}_{\,2}$} 773\put(6,2){$\vect{W}_{\,\infty}$} 774\put(10,2){$\vect{W}_{\,bord} = \vect{W}_{\,\infty} = \vect{W}_{\,ext}$} 775\end{picture} 776 777Toutes les caract\'eristiques sont entrantes, 778toutes les conditions au bord sont donc impos\'ees par l'utilisateur. 779 780\begin{equation} 781\left\{\begin{array}{l} 782\rho_b = \rho_{ext}\\ 783{\vect{u}_\tau}_b = {\vect{u}_\tau}_{ext}\\ 784u_b = u_{ext}\\ 785P_b = P_{ext} 786\end{array}\right. 787\end{equation} 788 789 790\paragraph{Entr\'ee subsonique (condition IERUCF de 791\fort{uscfcl})~: } 792$$-1 < M_{ext} \leqslant 0 793\Rightarrow (u_{ext} \leqslant 0 \text{ et } u_{ext} + c_{ext} > 0)$$ 794 795 796\unitlength=1cm 797\begin{picture}(20,4.5) 798\put(0,0.5){\vector(1,0){8}} 799\put(4,0.5){\vector(0,1){3}} 800\put(8,0.6){$x$} 801\put(3.8,3.4){$t$} 802\put(4,3.7){bord} 803\put(4,3.2){\vector(1,0){0.5}} 804\put(4.55,3.15){$\vect{n}$} 805\multiput(4,0.5)(0,0.5){5}{\line(2,3){.4}} 806\put(4,0.5){\line(-2,1){3}} 807\put(0,2.1){$\lambda_1=u-c$} 808\put(4,0.5){\qbezier[15](0,0)(-0.7,1.4)(-1.4,2.8)} 809\put(1.1,3.4){$\lambda_{2,3,4}=u\ (\leqslant 0)$} 810\put(4,0.5){\line(1,2){1.4}} 811\put(5.3,3.4){$\lambda_5=u+c\ (>0)$} 812\put(1.5,1){$\vect{W}_{\,i}$} 813\put(2,2.1){$\vect{W}_{\,1}$} 814\put(3.3,2.5){$\vect{W}_{\,2}$} 815\put(6,2){$\vect{W}_{\,\infty}$} 816\put(10,2){$\vect{W}_{\,bord} = \vect{W}_{\,2}$} 817\put(12.5,2) 818{$\left\{\begin{array}{l} 819\rho_b = \rho_2\\ 820u_b = u_2\\ 821P_b = P_2 822\end{array}\right.$} 823\end{picture} 824 825 826On a une caract\'eristique sortante. 827L'utilisateur doit donc laisser un degr\'e de libert\'e. 828 829En g\'en\'eral, on impose le flux de masse en entr\'ee, donc $\rho_{ext}$ 830et $u_{ext}$, et l'on calcule la pression au bord en r\'esolvant 831le passage des 1$\sim$4-ondes. 832On conna\^it aussi ${\vect{u}_\tau}_b = {\vect{u}_\tau}_{ext}$, 833par conservation de la vitesse tangentielle \`a travers la 5-onde. 834 835\begin{enumerate} 836 837\item Si $u_{ext} \geqslant u_i$, 838on a une 1-d\'etente. 839 840On \'ecrit la conservation 841des invariants de Riemann \`a travers la 1-d\'etente 842et la conservation de la vitesse et de la pression \`a travers le contact~: 843\begin{equation} 844\begin{array}{lll} 845\begin{array}{l} 846\left\{\begin{array}{l} 847u_1 + \displaystyle\int_0^{\rho_1} \frac{c}{\rho} d\rho 848= u_i + \displaystyle\int_0^{\rho_i} \frac{c}{\rho} d\rho\\ 849\\ 850s_1 = s_i 851\end{array}\right.\\ 852\\ 853\left\{\begin{array}{l} 854u_1 = u_2 = u_{ext}\\ 855\\ 856P_1 = P_2 857\end{array}\right. 858\end{array} 859& 860\Rightarrow 861\left\{\begin{array}{ll} 862\displaystyle\int_{\rho_i}^{\rho_1} \frac{c}{\rho} d\rho 863= u_i - u_{ext} 864& \Rightarrow \rho_1\\ 865\\ 866s(P_2,\rho_1) = s(P_i,\rho_i) 867& \Rightarrow P_b = P_2 868\end{array}\right. 869\end{array} 870\end{equation} 871 872\item Si $u_{ext} < u_i$, 873on a un 1-choc. 874 875On \'ecrit les relations de saut \`a travers le 1-choc 876et la conservation de la vitesse et de la pression \`a travers le contact~: 877\begin{equation} 878\begin{array}{lll} 879\begin{array}{l} 880\left\{\begin{array}{l} 881\rho_1 \rho_i (u_1 - u_i)^2 882= (P_1 - P_i)(\rho_1 - \rho_i)\\ 883\\ 8842\rho_1 \rho_i (\varepsilon_1 - \varepsilon_i) 885= (P_1 + P_i)(\rho_1 - \rho_i)\\ 886\\ 887\varepsilon = \varepsilon(P,\rho) 888\end{array}\right.\\ 889\\ 890\left\{\begin{array}{l} 891u_1 = u_2 = u_{ext}\\ 892\\ 893P_1 = P_2 894\end{array}\right. 895\end{array} 896& 897\Rightarrow 898\left\{\begin{array}{l} 899\rho_1\\ 900\\ 901P_b = P_2 902\end{array}\right. 903\end{array} 904\end{equation} 905 906\bigskip 907Pour les gaz parfaits, on a~: 908 909\begin{itemize} 910 911\item Cas d\'etente ($\delta M \leqslant 0$)~:\\ 912$$ 913\begin{array}{l} 914\left\{\begin{array}{lll} 915P_b=0 & \text{si} & 1 + \displaystyle\frac{\gamma-1}{2}\delta M<0\\ 916P_b = P_i \left(1 + \displaystyle\frac{\gamma-1}{2}\delta M\right) 917^{\frac{2\gamma}{\gamma-1}} & \text{sinon}\\ 918\end{array}\right.\\ 919\\ 920\rho_b= \rho_{ext}\\ 921\end{array} 922$$ 923 924\item Cas choc ($\delta M > 0$)~:\\ 925$$ 926\begin{array}{l} 927P_b = P_i \left(1 + \displaystyle\frac{\gamma(\gamma+1)}{4}\delta M^2 928+\gamma \delta M \displaystyle\sqrt{1+\displaystyle\frac{(\gamma+1)^2}{16}\delta M^2}\right) 929\\ 930\\ 931\rho_b=\rho_{ext}\\ 932\end{array} 933$$ 934 935\end{itemize} 936 937\end{enumerate} 938 939 940%================================= 941\subsection*{Condition de pression en paroi avec effets de gravit\'e} 942%================================= 943 944Le probl\`eme de Riemann consid\'er\'e pr\'ec\'edemment 945ne prend pas en compte les effets de la gravit\'e. 946Or, dans certains cas, si l'on ne prend pas en compte le gradient de 947pression ``hydrostatique'', on peut obtenir une solution erron\'ee 948(en particulier, par exemple, 949on peut cr\'eer une source de quantit\'e de mouvement 950non physique dans un milieu initialement au repos). 951 952\'Ecrivons l'\'equilibre local dans la maille de bord~: 953\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_equilibre_local_cfxtcl} 954\gradv{P} = \rho \vect{g} 955\end{equation} 956 957Pour simplifier la r\'esolution, on peut utiliser la formulation 958de (\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_equilibre_local_cfxtcl}) en incompressible 959(c'est cette approche qui a \'et\'e adopt\'ee dans \CS)~: 960\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_equilibre_incompressible_cfxtcl} 961\begin{array}{lll} 962\left(\gradv{P}\right)_i = \rho_i \vect{g} 963& \text{ce qui donne} 964& P_{paroi} = P_i + \rho_i \vect{g} \cdot (\vect{x}_{paroi} - \vect{x}_i) 965\end{array} 966\end{equation} 967 968 969Une autre approche (d\'ependante de l'\'equation d'\'etat) 970consiste \`a r\'esoudre l'\'equilibre local avec la formulation 971compressible (\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_equilibre_local_cfxtcl}), en supposant de plus que 972la maille est isentropique~: 973\begin{equation} 974\left\{\begin{array}{lll} 975\gradv{P} = \rho \vect{g}\\ 976\\ 977P = P(\rho,s_i) 978\end{array}\right. 979\end{equation} 980Ce qui donne, pour un gaz parfait~: 981\begin{equation} 982\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_equilibre_compressible_cfxtcl} 983 P_{paroi} = P_i \left( 1+ \displaystyle\frac{\gamma -1}{\gamma} 984\displaystyle\frac{\rho_i}{P_i} \vect{g} \cdot (\vect{x}_{paroi} - \vect{x}_i) 985\right)^{\frac{\gamma}{\gamma -1}} 986\end{equation} 987 988\paragraph{Remarque~:} 989la formule issue de l'incompressible (\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_equilibre_incompressible_cfxtcl}) 990est une lin\'earisation de la formule (\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_equilibre_compressible_cfxtcl}). 991Dans les cas courants elle s'\'eloigne tr\`es peu de la formule exacte. 992Dans des conditions extr\^emes, 993si l'on consid\`ere par exemple 994de l'air \`a $1000K$ et $10bar$, avec une acc\'el\'eration 995de la pesanteur $g=1000m/s^2$ et une diff\'erence de hauteur entre 996le centre de la cellule et le centre de la face de bord de $10m$, 997l'expression (\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_equilibre_compressible_cfxtcl}) donne $P_{paroi} = 1034640,4Pa$ 998et l'expression (\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_equilibre_incompressible_cfxtcl}) donne $P_{paroi} = 1034644,7Pa$, 999soit une diff\'erence relative de moins de $0,001\%$. 1000On voit aussi que la diff\'erence entre la pression calcul\'ee au centre 1001de la cellule et celle calcul\'ee au bord est de l'ordre de~$3\%$. 1002 1003%================================= 1004\subsection*{Sch\'ema de Rusanov pour le calcul de flux convectifs au bord} 1005%================================= 1006 1007 1008%--------------------------------- 1009\subsubsection*{Introduction} 1010%--------------------------------- 1011 1012Le sch\'ema de Rusanov est utilis\'e pour certains types de conditions aux 1013limites afin de passer du vecteur d'\'etat calcul\'e au bord comme indiqu\'e 1014pr\'ec\'edemment (solution du probl\`eme de Riemann) \`a un flux convectif de 1015bord (pour la masse, la quantit\'e de 1016mouvement et l'\'energie). L'utilisation de ce sch\'ema (d\'ecentr\'e amont) 1017permet de gagner en stabilit\'e. 1018 1019Le sch\'ema de Rusanov est appliqu\'e aux fronti\`eres auxquelles on consid\`ere 1020qu'il est le plus probable de rencontrer des conditions en accord imparfait 1021avec l'\'etat r\'egnant dans le domaine, conditions qui sont donc susceptibles de 1022d\'estabiliser le calcul~: il s'agit des entr\'ees et des sorties (fronti\`eres 1023de type IESICF, ISOPCF, IERUCF, IEQHCF). En sortie 1024supersonique (ISSPCF) cependant, le sch\'ema de Rusanov est inutile et 1025n'est donc pas appliqu\'e~: 1026en effet, pour ce type de fronti\`ere, l'\'etat impos\'e au bord est exactement 1027l'\'etat amont et le d\'ecentrement du sch\'ema de Rusanov n'apporterait donc 1028rien. 1029 1030%--------------------------------- 1031\subsubsection*{Principe} 1032%--------------------------------- 1033 1034Pour le calcul du flux d\'ecentr\'e de Rusanov, on consid\`ere 1035le syst\`eme hyperbolique 1036constitu\'e des seuls termes convectifs issus 1037des \'equations de masse, quantit\'e de mouvement et \'energie. Ce 1038syst\`eme est \'ecrit, par changement de variable, en non conservatif 1039(on utilise la relation 1040$\displaystyle P=\frac{\rho\varepsilon}{\gamma-1}$ et 1041on note $u_\xi$ les composantes de $\vect{u}$)~: 1042 1043\begin{equation} 1044\left\{\begin{array}{lllll} 1045\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t} 1046&+&\rho\divv{\,\vect{u}} + \vect{u}\,\grad{\,\rho}&=& 0 \\ 1047\displaystyle\frac{\partial u_\xi}{\partial t} 1048&+& \vect{u}\,\grad{u_\xi}+\displaystyle\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial 1049P}{\partial \xi} &=& 0 \\ 1050\displaystyle\frac{\partial P}{\partial t} 1051&+&\gamma\,P\,\dive{\vect{u}}+\vect{u}\,\grad{P}&=& 0 1052\end{array}\right. 1053\end{equation} 1054 1055En notant le vecteur d'\'etat $\vect{W}= (\rho,\vect{u},P)^t$, 1056ce syst\`eme est not\'e~: 1057\begin{equation} 1058\displaystyle\frac{\partial \vect{W}}{\partial t} +\dive{\,\vect{F}(\vect{W})} = 0 1059\end{equation} 1060 1061Avec $\delta\,\vect{W}$ l'incr\'ement temporel du vecteur d'\'etat, $\vect{n}$ la 1062normale \`a une face, $ij$ la face interne partag\'ee par les cellules $i$ et 1063$j$ et $ik$ la face de bord $k$ associ\'ee \`a la cellule $i$, 1064la discr\'etisation spatiale conduit \`a~: 1065\begin{equation} 1066\displaystyle\frac{|\Omega_i|}{\Delta t}\delta\,\vect{W}_i 1067+\sum\limits_{j\in\,Vois(i)}\int_{S_{ij}} \vect{F}(\vect{W})\,\vect{n}\,dS 1068+\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\int_{S_{\,{b}_{ik}}} \vect{F}(\vect{W})\,\vect{n}\,dS 1069=0 1070\end{equation} 1071 1072Sur une face de bord donn\'ee, 1073on applique le sch\'ema de Rusanov pour calculer le flux 1074comme suit~: 1075\begin{equation} 1076\frac{1}{|S_{\,{b}_{ik}}|}\int_{S_{\,{b}_{ik}}} \vect{F}(\vect{W})\,\vect{n}\,dS 1077=\frac{1}{2}\left(\vect{F}(\vect{W}_i)+\vect{F}(\vect{W}_{\,{b}_{ik}})\right)\cdot\vect{n}_{\,{b}_{ik}} 1078-\frac{1}{2}\rho_{rus\,{b}_{ik}}\left(\vect{W}_{\,{b}_{ik}}-\vect{W}_i\right)=\vect{F}_{rus\,{b}_{ik}}(\vect{W}) 1079\end{equation} 1080 1081Dans cette relation, $\vect{W}_{\,{b}_{ik}}$ est le vecteur d'\'etat 1082$\vect{W}_{\infty}$, connu au bord (tel 1083qu'il r\'esulte de la r\'esolution du probl\`eme de Riemann au bord 1084pr\'esent\'ee plus haut pour chaque type de fronti\`ere consid\'er\'e). 1085 1086%--------------------------------- 1087\subsubsection*{Param\`etre de d\'ecentrement $\rho_{rus\,{b}_{ik}}$} 1088%--------------------------------- 1089 1090Pour chaque face de bord, le scalaire $\rho_{rus\,{b}_{ik}}$ est la 1091plus grande valeur du rayon spectral de la matrice jacobienne 1092$\displaystyle\frac{\partial\,\vect{F}_n(\vect{W})}{\partial \vect{W}}$ 1093obtenu pour les vecteurs d'\'etat $\vect{W}_i$ et $\vect{W}_{\,{b}_{ik}}$. 1094 1095$\vect{F}_n$ est la composante du 1096flux $\vect{F}$ dans la direction de la normale \`a la face de bord, 1097$\vect{n}_{\,{b}_{ik}}$. Utiliser $\vect{F}_n$ 1098pour la d\'etermination du 1099param\`etre de d\'ecentrement $\rho_{rus\,{b}_{ik}}$ 1100rel\`eve d'une approche classique qui consiste 1101\`a remplacer le syst\`eme tridimensionnel 1102initial par le syst\`eme unidimensionnel projet\'e dans la direction 1103normale \`a la face, en n\'egligeant les variations du vecteur d'\'etat 1104$\vect{W}$ dans la direction tangeante \`a la face~: 1105\begin{equation} 1106\displaystyle\frac{\partial \vect{W}}{\partial t} +\frac{\partial\,\vect{F}_n(\vect{W})}{\partial 1107\vect{W}}\,\frac{\partial \vect{W}}{\partial n} = 0 1108\end{equation} 1109 1110De mani\`ere plus explicite, si l'on se place dans un rep\`ere de calcul ayant 1111$\vect{n}_{\,{b}_{ik}}$ comme vecteur de base, et si l'on note $u$ la 1112composante de vitesse associ\'ee, le syst\`eme est le suivant (les \'equations 1113portant sur les composantes transverses de la vitesse sont d\'ecoupl\'ees, 1114associ\'ees \`a la valeur propre $u$, comme le serait un scalaire simplement 1115convect\'e et ne sont pas \'ecrites ci-apr\`es)~: 1116\begin{equation} 1117\left\{\begin{array}{lllll} 1118\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t} 1119&+&\displaystyle\rho\frac{\partial\,u}{\partial\,n} + u\,\frac{\partial\,\rho}{\partial\,n}&=& 0 \\ 1120\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} 1121&+&\displaystyle u\,\frac{\partial\,u}{\partial\,n}+\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial 1122P}{\partial n} &=& 0 \\ 1123\displaystyle\frac{\partial P}{\partial t} 1124&+&\displaystyle\gamma\,P\,\frac{\partial\,u}{\partial\,n}+u\,\frac{\partial\,P}{\partial\,n}&=& 0 1125\end{array}\right. 1126\end{equation} 1127 1128La matrice jacobienne associ\'ee est donc~: 1129\begin{equation} 1130\left(\begin{array}{lll} 1131\displaystyle u & \rho & 0 \\ 1132\displaystyle 0 & u & \displaystyle\frac{1}{\rho} \\ 1133\displaystyle 0 & \gamma\, P & 0 \\ 1134\end{array}\right) 1135\end{equation} 1136 1137Les valeurs propres sont $u$ et $\displaystyle\,u\pm c$ (avec 1138$c=\sqrt\frac{\gamma\,P}{\rho}$). Le rayon spectral est donc 1139$|u|+c$ et le param\`etre de d\'ecentrement s'en d\'eduit~: 1140\begin{equation} 1141\rho_{rus\,{b}_{ik}} = max\left(|u_i|+c_i,|u_{{b}_{ik}}|+c_{{b}_{ik}}\right) 1142\end{equation} 1143 1144 1145%--------------------------------- 1146\subsubsection*{Expression des flux convectifs} 1147%--------------------------------- 1148 1149Les flux convectifs calcul\'es par le sch\'ema de Rusanov 1150pour les variables masse, quantit\'e de mouvement 1151et \'energie repr\'esentent donc la discr\'etisation des termes suivants~: 1152\begin{equation} 1153\left\{\begin{array}{l} 1154\displaystyle\dive(\vect{Q})\\ 1155\displaystyle\divv(\vect{u}\otimes\vect{Q})+\grad\,P\\ 1156\displaystyle\dive\left(\vect{Q}\,(e+\frac{P}{\rho})\right) 1157\end{array}\right. 1158\end{equation} 1159 1160Pour une face de bord $ik$ adjacente \`a la cellule $i$ et 1161avec la valeur pr\'ec\'edente de $\rho_{rus\,{b}_{ik}}$, on a~: 1162\begin{equation} 1163\left\{\begin{array}{lll} 1164\displaystyle\int_{S_{\,{b}_{ik}}}\vect{Q}\cdot\vect{n}\,dS 1165&=& 1166\displaystyle\frac{1}{2}\left( 1167(\vect{Q}_i+\vect{Q}_{\,{b}_{ik}})\cdot\vect{n}_{\,{b}_{ik}}\right)\,S_{\,{b}_{ik}}\\ 1168&&\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1169-\frac{1}{2}\,\rho_{rus\,{b}_{ik}} 1170\left(\rho_{\,{b}_{ik}}-\rho_i \right)\,S_{\,{b}_{ik}}\\ 1171% 1172\displaystyle\int_{S_{\,{b}_{ik}}}(\vect{u}\otimes\vect{Q}+\grad\,P)\cdot\vect{n}\,dS 1173&=& 1174\displaystyle\frac{1}{2}\left( 1175 \vect{u}_i(\vect{Q}_i\cdot\vect{n}_{\,{b}_{ik}}) 1176+P_i\,\vect{n}_{\,{b}_{ik}} 1177+\vect{u}_{\,{b}_{ik}}(\vect{Q}_{\,{b}_{ik}}\cdot\vect{n}_{\,{b}_{ik}}) 1178+P_{\,{b}_{ik}}\,\vect{n}_{\,{b}_{ik}}\right)\,S_{\,{b}_{ik}}\\ 1179&&\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1180-\frac{1}{2}\,\rho_{rus\,{b}_{ik}} 1181\left(\vect{Q}_{\,{b}_{ik}}-\vect{Q}_i \right)\,S_{\,{b}_{ik}}\\ 1182% 1183\displaystyle\int_{S_{\,{b}_{ik}}}(e+\frac{P}{\rho})\,\vect{Q}\cdot\vect{n}\,dS 1184&=& 1185\displaystyle\frac{1}{2}\left( 1186(e_i+\frac{P_i}{\rho_i})\,(\vect{Q}_i\cdot\vect{n}_{\,{b}_{ik}}) 1187+(e_{\,{b}_{ik}}+\frac{P_{\,{b}_{ik}}}{\rho_{\,{b}_{ik}}})(\vect{Q}_{\,{b}_{ik}}\cdot\vect{n}_{\,{b}_{ik}}) 1188\right)\,S_{\,{b}_{ik}}\\ 1189&&\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1190-\frac{1}{2}\,\rho_{rus\,{b}_{ik}} 1191\left(\rho_{\,{b}_{ik}}\,e_{\,{b}_{ik}}-\rho_i\,e_i \right)\,S_{\,{b}_{ik}}\\ 1192\end{array}\right. 1193\end{equation} 1194 1195 1196 1197%================================= 1198\subsection*{Conditions aux limites pour le flux diffusif d'\'energie} 1199\label{Cfbl_Cfxtcl_section_cl_flux_diffusif_energie_cfener} 1200%================================= 1201 1202%--------------------------------- 1203\subsubsection*{Rappel} 1204%--------------------------------- 1205 1206Pour le flux de diffusion d'\'energie, les conditions aux limites sont 1207impos\'ees de mani\`ere similaire \`a ce qui est d\'ecrit dans 1208la documentation de \fort{clptur} et de 1209\fort{condli}. La figure~(\ref{Cfbl_Cfxtcl_fig_flux_cfxtcl}) rappelle quelques notations 1210usuelles et l'\'equation~(\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_flux_cfxtcl}) traduit la conservation du flux 1211normal au bord pour la variable $f$. 1212 1213\begin{figure}[htp] 1214\centerline{\includegraphics[height=7cm]{fluxbord}} 1215\caption{\label{Cfbl_Cfxtcl_fig_flux_cfxtcl}Cellule de bord.} 1216\end{figure} 1217 1218\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_flux_cfxtcl} 1219\begin{array}{l} 1220 \underbrace{h_{int}(f_{b,int}-f_{I'})}_{\phi_{int}} 1221 = \underbrace{h_{b}(f_{b,ext}-f_{I'})}_{\phi_{b}} 1222 = \left\{\begin{array}{ll} 1223 \underbrace{h_{imp,ext}(f_{imp,ext}-f_{b,ext})}_{\phi_{\text{\it r\'eel 1224impos\'e}}} &\text{(condition de Dirichlet)}\\ 1225 \underbrace{\phi_{\text{\it imp,ext}}}_{\phi_{\text{\it r\'eel impos\'e}}} 1226 &\text{(condition de Neumann)} 1227 \end{array}\right. 1228\end{array} 1229\end{equation} 1230 1231 1232L'\'equation~(\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_fbint_cfxtcl}) rappelle la formulation des 1233conditions aux limites pour une variable $f$. 1234\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_fbint_cfxtcl} 1235f_{b,int} 1236 = \left\{\begin{array}{cccccl} 1237 \displaystyle\frac{h_{imp,ext}}{h_{int}+h_r h_{imp,ext} }&f_{imp,ext}&+& 1238 \displaystyle\frac{h_{int}+h_{imp,ext}(h_r-1)}{h_{int}+h_r h_{imp,ext} }&f_{I'} 1239 &\text{(condition de Dirichlet)}\\ 1240 \displaystyle\frac{1}{h_{int}}&\phi_{\text{\it imp,ext}}&+& 1241 \ &f_{I'} 1242 &\text{(condition de Neumann)} 1243 \end{array}\right. 1244\end{equation} 1245 1246Les coefficients d'\'echange sont d\'efinis comme suit\footnote{On rappelle que, comme 1247dans \fort{condli}, $\alpha$ d\'esigne $\lambda+C_p\,\frac{\mu_t}{\sigma_t}$ 1248si $f$ est la temp\'erature, 1249$\frac{\lambda}{C_p}+\frac{\mu_t}{\sigma_t}$ si $f$ repr\'esente l'enthalpie. 1250Le coefficient $C$ repr\'esente $C_p$ pour la temp\'erature et vaut 1251$1$ pour l'enthalpie. La grandeur adimensionnelle $f^+$ est obtenue par 1252application d'un principe de similitude en paroi~: pour la temp\'erature, 1253elle d\'epend du nombre de 1254Prandlt mol\'eculaire, du nombre de Prandtl turbulent et de la distance adimensionnelle \`a la paroi $y^+$ dans la cellule de bord.}~: 1255\begin{equation} 1256\left\{\begin{array}{lll} 1257h_{int}&=&\displaystyle\frac{\alpha}{\overline{I'F}}\\ 1258h_r&=&\displaystyle\frac{h_{int}}{h_{b}} \\ 1259h_b&=&\displaystyle\frac{\phi_b}{f_{b,ext}-f_{I'}}=\frac{\rho\,C\,u_k}{f^+_{I'}} 1260\end{array}\right. 1261\end{equation} 1262 1263Dans \CS, on note les conditions aux limites de mani\`ere g\'en\'erale sous 1264la forme suivante~: 1265\begin{equation} 1266f_{b,int}=A_b + B_b\,f_{I'} 1267\end{equation} 1268avec $A_b$ et $B_b$ d\'efinis selon le type des conditions~: 1269\begin{equation} 1270\begin{array}{c} 1271\text{Dirichlet}\left\{\begin{array}{ll} 1272 A_b = &\displaystyle\frac{h_{imp,ext}}{h_{int}+h_r h_{imp,ext} } f_{imp,ext}\\ 1273 B_b = &\displaystyle\frac{h_{int}+h_{imp,ext}(h_r-1)}{h_{int}+h_r h_{imp,ext} } 1274 \end{array}\right. 1275\text{\ \ Neumann}\left\{\begin{array}{ll} 1276 A_b = &\displaystyle\frac{1}{h_{int}}\phi_{\text{\it imp,ext}}\\ 1277 B_b = &1 1278 \end{array}\right. 1279\end{array} 1280\end{equation} 1281 1282%--------------------------------- 1283\subsubsection*{Flux diffusif d'\'energie} 1284%--------------------------------- 1285 1286Dans le module compressible, on r\'esout une \'equation sur l'\'energie, qui s'\'ecrit, si 1287l'on excepte tous les termes hormis le flux de diffusion et le terme 1288instationnaire, pour faciliter la pr\'esentation~: 1289 1290\begin{equation} 1291\begin{array}{lll} 1292\displaystyle\frac{\partial \rho e}{\partial t} &=& - \dive{\,\vect{\Phi}_s}\\ 1293&=& \displaystyle\dive{(K\,\grad{T})} \text{\ \ avec \ \ } K=\lambda+C_p\,\frac{\mu_t}{\sigma_t}\\ 1294&=& \displaystyle\dive{\left(K\,\grad{\frac{e-\frac{1}{2}\,u^2-\varepsilon_{sup}}{C_v}}\right)} \\ 1295&=& \displaystyle\dive{\left(\frac{K}{C_v}\,\grad{(e-\frac{1}{2}\,u^2-\varepsilon_{sup})}\right)} \text{\ \ 1296si \ \ } C_v \text{\ est constant}\\ 1297&=& \displaystyle\dive{\left(\frac{K}{C_v}\,\grad\,e\right)} 1298-\dive{\left(\frac{K}{C_v}\,\grad{(\frac{1}{2}\,u^2+\varepsilon_{sup})}\right)} \\ 1299 1300\end{array} 1301\end{equation} 1302 1303La d\'ecomposition en $e$ et $\frac{1}{2}\,u^2+\varepsilon_{sup}$ est purement 1304math\'ematique (elle r\'esulte du fait que l'on r\'esout en \'energie alors que 1305le flux thermique s'exprime en fonction de la temp\'erature). Aussi, pour imposer un 1306flux de bord ou une temp\'erature de bord (ce qui revient au m\^eme puisque l'on 1307impose toujours finalement la conservation du flux normal), on {\it choisit} 1308de reporter la totalit\'e de la condition \`a la limite sur le terme 1309$\displaystyle\frac{K}{C_v}\,\grad\,e$ 1310et donc d'annuler le flux associ\'e au terme 1311$\displaystyle\frac{K}{C_v}\,\grad{(\frac{1}{2}\,u^2+\varepsilon_{sup})}$ 1312(en pratique, pour l'annuler, on se contente de ne pas l'ajouter 1313au second membre de l'\'equation). Conform\'ement \`a l'approche retenue dans \CS et 1314rappel\'ee pr\'ec\'edemment, on d\'eterminera donc une valeur de bord {\it 1315fictive} de l'\'energie qui permette de reconstruire le flux diffusif total 1316attendu \`a partir 1317de la discr\'etisation du seul terme $\displaystyle\frac{K}{C_v}\,\grad\,e$. 1318 1319Remarque : dans la version 1.2.0, 1320on utilise $\displaystyle 1321\frac{K}{C_v}=\left(\frac{\lambda}{C_v}+\frac{\mu_t}{\sigma_t}\right)$, \`a 1322partir de 1.2.1, on utilise la valeur $\displaystyle 1323\frac{K}{C_v}=\left(\frac{\lambda}{C_v}+\frac{C_p}{C_v}\frac{\mu_t}{\sigma_t}\right)$. 1324On notera que le nombre de Prandtl turbulent $\sigma_t$ est associ\'e \`a la variable 1325r\'esolue et peut \^etre fix\'e par l'utilisateur. 1326 1327 1328%--------------------------------- 1329\subsubsection*{Condition de Neumann} 1330%--------------------------------- 1331 1332La conservation du flux s'\'ecrit~: 1333 1334\begin{equation} 1335 \underbrace{h_{int}(e_{b,int}-e_{I'})}_{\phi_{int}} 1336 =\underbrace{\phi_{\text{\it imp,ext}}}_{\phi_{\text{\it r\'eel impos\'e}}} 1337\end{equation} 1338 1339On a donc dans ce cas~: 1340\begin{equation} 1341\left\{\begin{array}{lll} 1342 A_b &= &\displaystyle\frac{1}{h_{int}}\phi_{\text{\it imp,ext}}\\ 1343 B_b &= &1 1344\end{array}\right. 1345\end{equation} 1346 1347 1348%--------------------------------- 1349\subsubsection*{Condition de Dirichlet} 1350%--------------------------------- 1351 1352On suppose que la condition de Dirichlet porte sur la temp\'erature $T_{b,ext}$. 1353 1354 1355La conservation du flux s'\'ecrit~: 1356\begin{equation}\label{Cfbl_Cfxtcl_eq_conservation_flux_cfxtcl} 1357 \underbrace{h_{int}(e_{b,int}-e_{I'})}_{\phi_{int}\text{\ (forme num\'erique 1358du flux)}} 1359 = \underbrace{h_{b}(T_{b,ext}-T_{I'})}_{\phi_{b}\text{ qui int\`egre l'effet 1360de couche limite}} 1361 = 1362 \underbrace{h'_{imp,ext}(T_{imp,ext}-T_{b,ext})}_{\phi_{\text{\it r\'eel 1363impos\'e}}} 1364\end{equation} 1365 1366Avec pour les coefficients d'\'echange~: 1367\begin{equation} 1368\left\{\begin{array}{lll} 1369h_{int}&=&\displaystyle\frac{K}{C_v\,\overline{I'F}}\\ 1370h_b&=&\displaystyle\frac{\phi_b}{T_{b,ext}-T_{I'}}=\frac{\rho\,C_p\,u_k}{T^+_{I'}} 1371\end{array}\right. 1372\end{equation} 1373 1374On tire $T_{b,ext}$ 1375de la seconde partie de l'\'egalit\'e~(\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_conservation_flux_cfxtcl}) 1376traduisant la conservation du flux~: 1377\begin{equation} 1378\displaystyle T_{b,ext} = \frac{h'_{imp,ext}\,T_{imp,ext}+h_b\,T_{I'}}{h_b+h'_{imp,ext}} 1379\end{equation} 1380 1381En utilisant cette valeur et la premi\`ere partie de l'\'equation de conservation 1382du flux~(\ref{Cfbl_Cfxtcl_eq_conservation_flux_cfxtcl}), on obtient~: 1383\begin{equation} 1384e_{b,int} = \frac{h_b\,h'_{imp,ext}}{h_{int}\,(h_b+h'_{imp,ext})}\,(T_{imp,ext}-T_{I'})+e_{I'} 1385\end{equation} 1386 1387On utilise alors 1388$\displaystyle T_{I'}=\frac{1}{C_v}\left(e_{I'}-\frac{1}{2}u^2_{i}-\varepsilon_{sup,i}\right)$ pour 1389\'ecrire (sans reconstruction pour la vitesse et $\varepsilon_{sup}$)~: 1390\begin{equation} 1391\displaystyle e_{b,int} = 1392\frac{ -\frac{h_b\,h'_{imp,ext}}{C_v}+h_{int}\,(h_b+h'_{imp,ext}) } 1393 { h_{int}\,(h_b+h'_{imp,ext}) } \,e_{I'} 1394+\frac{h_b\,h'_{imp,ext}}{h_{int}\,(h_b+h'_{imp,ext})}\, 1395 \left(T_{imp,ext}+\frac{\frac{1}{2}u^2_{i}+\varepsilon_{sup,i}}{C_v}\right) 1396\end{equation} 1397 1398 1399Et on a donc, avec $\displaystyle h'_r=\frac{h_{int}}{\frac{h_b}{C_v}}$~: 1400\begin{equation} 1401\displaystyle e_{b,int} = 1402\underbrace{\frac{ h'_{imp,ext} }{ C_v\,h_{int}+h'_r\,h'_{imp,ext} }\, 1403 \left(C_v\,T_{imp,ext}+\frac{1}{2}u^2_{i}+\varepsilon_{sup,i}\right)}_{A_b} 1404+\underbrace{\frac{ C_v\,h_{int}+h'_{imp,ext}(h'_r-1) }{ C_v\,h_{int}+h'_r\,h'_{imp,ext} }}_{B_b}\,e_{I'} 1405\end{equation} 1406 1407Avec ces notations, $h_b$ est le coefficient habituellement calcul\'e pour la 1408temp\'erature. 1409 1410Le coefficient $h'_{imp,ext}$ est le coefficient d'\'echange externe qui est 1411impos\'e pour la temp\'erature\footnote{Le coefficient $h'_{imp,ext}$ 1412est utile pour les cas o\`u l'on 1413souhaite relaxer la condition \`a la limite~: 1414pour la temp\'erature, cela correspond \`a imposer une valeur sur la face 1415externe d'une paroi unidimensionnelle id\'eale, sans inertie, 1416caract\'eris\'ee par un simple coefficient d'\'echange.}. 1417Pour obtenir l'\'equivalent dimensionnel de $h'_{imp,ext}$ pour l'\'energie, 1418il faut diviser sa valeur par $C_v$ (ce qui ne fait pas de diff\'erence dans 1419la majorit\'e des cas, car il est habituellement pris infini). 1420 1421%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1422%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1423\section*{Mise en \oe uvre} 1424%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1425%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1426 1427%================================= 1428\subsection*{Introduction} 1429%================================= 1430 1431Les conditions aux limites sont impos\'ees par une suite de sous-programmes, 1432dans la mesure o\`u l'on a cherch\'e \`a rester coh\'erent avec la structure 1433standard de \CS. 1434 1435Dans \fort{ppprcl} (appel\'e par \fort{precli}), on initialise les tableaux 1436avant le calcul des conditions aux limites~: 1437\begin{itemize} 1438\item \var{IZFPPP} (num\'ero de zone, inutilis\'e, fix\'e \`a z\'ero), 1439\item \var{IA(IIFBRU)} (rep\'erage des faces de bord pour 1440lesquelles on applique un sch\'ema de Rusanov~: initialis\'e \`a z\'ero, 1441on imposera la valeur 1 dans \fort{cfrusb} pour les faces auxquelles on applique le sch\'ema 1442de Rusanov) 1443\item \var{IA(IIFBET)} (rep\'erage des faces de paroi \`a temp\'erature ou 1444\`a flux thermique impos\'e~: initialis\'e \`a 0, on imposera la valeur 1 1445dans \fort{cfxtcl} lorsque la temp\'erature ou le flux est impos\'e), 1446\item \var{RCODCL(*,*,1)} (initialis\'e \`a \var{-RINFIN} en pr\'evision 1447du traitement des sorties r\'eentrantes pour lesquelles l'utilisateur 1448aurait fourni une valeur \`a imposer en Dirichlet), 1449\item flux convectifs de bord pour la quantit\'e de mouvement et l'\'energie 1450(initialis\'es \`a z\'ero). 1451\end{itemize} 1452 1453 1454\bigskip 1455Les types de fronti\`ere (\var{ITYPFB}) et les valeurs n\'ecessaires 1456(\var{ICODCL}, \var{RCODCL}) sont impos\'es par l'utilisateur dans \fort{uscfcl}. 1457 1458On convertit ensuite ces donn\'ees dans \fort{condli} pour qu'elles 1459soient directement utilisables lors du calcul des matrices et des seconds membres. 1460 1461Pour cela, \fort{cfxtcl} permet de r\'ealiser le calcul des valeurs de bord et, 1462pour certaines fronti\`eres, des flux convectifs. On fait appel, 1463en particulier, 1464\`a \fort{uscfth} (utilisation de la thermodynamique) et \`a \fort{cfrusb} 1465(flux convectifs par le sch\'ema de Rusanov). Lors de ces calculs, on utilise 1466\var{COEFA} et \var{COEFB} comme tableaux de travail (transmission de valeurs 1467\`a \fort{uscfth} en particulier) afin de renseigner \var{ICODCL} et 1468\var{RCODCL}. 1469Apr\`es \fort{cfxtcl}, 1470le sous-programme \fort{typecl} compl\`ete quelques valeurs par d\'efaut 1471de \var{ICODCL} et de \var{RCODCL}, en particulier pour les scalaires passifs. 1472 1473Apr\`es \fort{cfxtcl} et \fort{typecl}, les tableaux \var{ICODCL} et \var{RCODCL} 1474sont complets. Ils sont utilis\'es dans la suite de \fort{condli} et en particulier 1475dans \fort{clptur} pour construire les tableaux \var{COEFA} et \var{COEFB} 1476(pour l'\'energie, on dispose de deux couples (\var{COEFA}, \var{COEFB}) afin de 1477traiter les parois). 1478 1479On pr\'esente ci-apr\`es les points dont l'implantation diff\`ere 1480de l'approche standard. Il s'agit de 1481l'utilisation d'un sch\'ema de Rusanov pour le calcul des flux convectifs 1482en entr\'ee et sortie (hormis sortie supersonique) 1483et du mode de calcul des flux diffusifs d'\'energie en paroi. 1484On insiste en particulier sur l'impact des conditions aux limites 1485sur la construction des seconds membres de l'\'equation de la quantit\'e 1486de mouvement et de l'\'equation de l'\'energie (\fort{cfqdmv} et \fort{cfener}). 1487 1488%================================= 1489\subsection*{Flux de Rusanov pour le calcul des flux convectifs en entr\'ee et sortie} 1490%================================= 1491 1492Le sch\'ema de Rusanov est utilis\'e pour calculer des flux convectifs de bord 1493(masse, quantit\'e de mouvement et \'energie) aux entr\'ees et des sorties 1494de type IESICF, ISOPCF, IERUCF, IEQHCF. 1495 1496La gestion des conditions aux limites est diff\'erente de celle adopt\'ee 1497classiquement dans \CS, bien que l'on se soit efforc\'e de s'y conformer le 1498mieux possible. 1499 1500En volumes finis, il faut disposer de conditions aux 1501limites pour trois utilisations principales au moins~: 1502 \begin{itemize} 1503 \item imposer les flux de convection, 1504 \item imposer les flux de diffusion, 1505 \item calculer les gradients pour les reconstructions. 1506 \end{itemize} 1507Dans l'approche standard de \CS, les conditions aux limites sont d\'efinies par 1508variable et non pas par terme discret\footnote{Par exemple, pour un scalaire 1509convect\'e et diffus\'e, on d\'efinit une valeur de bord unique {\it pour le scalaire} 1510et non pas une valeur de bord pour le {\it flux convectif} et une valeur de bord 1511pour le {\it flux diffusif}.}. On dispose donc, {\it pour chaque variable}, 1512d'une valeur de bord dont devront \^etre d\'eduits les flux de 1513convection, les flux de diffusion et les gradients\footnote{N\'eanmoins, pour 1514certaines variables comme la vitesse par exemple, \CS dispose de deux valeurs 1515de bord (et non pas d'une seule) afin de pouvoir imposer de mani\`ere 1516ind\'ependante le gradient normal et le flux de diffusion.}. 1517Ici, avec l'utilisation d'un sch\'ema de 1518Rusanov, dans lequel le flux convectif est trait\'e dans son ensemble, 1519il est imp\'eratif 1520de disposer d'un moyen d'imposer directement sa valeur au bord\footnote{Il 1521serait possible de calculer une valeur de bord fictive des variables d'\'etat qui 1522permette de retrouver le flux convectif calcul\'e par le sch\'ema de Rusanov, 1523mais cette valeur ne permettrait pas d'obtenir 1524un flux de diffusion et un gradient satisfaisants.}. 1525 1526Le flux convectif calcul\'e par le sch\'ema de Rusanov 1527sera ajout\'e directement au second membre 1528des \'equations de masse, de quantit\'e de mouvement et d'\'energie. Comme ce 1529flux contient, outre la contribution des termes convectifs ``usuels'' 1530($\dive(\vect{Q})$, $\dive(\vect{u}\otimes\vect{Q})$ et 1531$\dive(\vect{Q}\,e)$), celle des termes en $\grad\,P$ (quantit\'e de 1532mouvement) et $\dive(\vect{Q}\,\frac{P}{\rho})$ 1533(\'energie), il faut veiller \`a ne pas 1534ajouter une seconde fois les termes de bord issus de $\grad\,P$ et de 1535$\dive(\vect{Q}\,\frac{P}{\rho})$ 1536au second membre des \'equations de quantit\'e de 1537mouvement et d'\'energie. 1538 1539 1540Pour la masse, le flux convectif calcul\'e par le sch\'ema de Rusanov 1541d\'efinit simplement le flux de masse au bord 1542(\var{PROPFB(IFAC,IPPROB(IFLUMA(ISCA(IENERG))))}). 1543 1544Pour la quantit\'e de mouvement, le flux convectif calcul\'e par le sch\'ema de 1545Rusanov est stock\'e dans les tableaux 1546\var{PROPFB(IFAC,IPPROB(IFBRHU))}, \var{PROPFB(IFAC,IPPROB(IFBRHV))} et 1547\var{PROPFB(IFAC,IPPROB(IFBRHW))}. Il est ensuite ajout\'e au second membre de 1548l'\'equation directement dans \fort{cfqdmv} (boucle sur les faces de bord). 1549Comme ce flux contient la contribution du terme convectif usuel 1550$\divv(\vect{u}\otimes\vect{Q})$, il ne faut pas l'ajouter dans 1551le sous-programme \fort{cfbsc2}. 1552De plus, le flux convectif calcul\'e par le sch\'ema de Rusanov 1553contient la contribution du 1554gradient de pression. Or, le gradient de pression est calcul\'e dans 1555\fort{cfqdmv} au moyen de \fort{grdcel} et ajout\'e au second membre 1556sous forme de contribution volumique (par cellule)~: il faut donc retirer 1557la contribution des faces de bord auxquelles est appliqu\'e le sch\'ema de 1558Rusanov, pour ne pas la compter deux fois (cette op\'eration est r\'ealis\'ee 1559dans \fort{cfqdmv}). 1560 1561Pour l'\'energie, le flux convectif calcul\'e par le sch\'ema de 1562Rusanov est stock\'e dans le tableau 1563\var{PROPFB(IFAC,IPPROB(IFBENE))}. Pour les faces auxquelles n'est pas 1564appliqu\'e le sch\'ema de Rusanov, on ajoute la contribution 1565du terme de transport de pression $\dive(\vect{Q}\,\frac{P}{\rho})$ 1566au second membre de l'\'equation dans \fort{cfener} 1567et on compl\`ete le second membre dans \fort{cfbsc2} avec la contribution du 1568terme convectif usuel $\dive(\vect{Q}\,e)$. Pour les faces auxquelles est 1569appliqu\'e le sch\'ema de Rusanov, on ajoute directement le flux de Rusanov au second 1570membre de l'\'equation dans \fort{cfener}, en lieu et place de la contribution 1571du terme de transport de pression et l'on prend garde de ne pas 1572comptabiliser une seconde fois le flux convectif usuel 1573$\divv(\vect{Q}\,e)$ dans le sous-programme \fort{cfbsc2}. 1574 1575C'est l'indicateur \var{IA(IIFBRU)} 1576(renseign\'e dans \fort{cfrusb}) qui permet, dans \fort{cfbsc2}, 1577\fort{cfqdmv} et \fort{cfener}, 1578de rep\'erer les faces de bord pour lesquelles on a calcul\'e 1579un flux convectif avec le sch\'ema de Rusanov. 1580 1581 1582%================================= 1583\subsection*{Flux diffusif d'\'energie} 1584%================================= 1585 1586%--------------------------------- 1587\subsubsection*{Introduction} 1588%--------------------------------- 1589 1590Une condition doit \^etre fournie sur toutes les fronti\`eres pour le calcul du 1591flux diffusif d'\'energie. 1592 1593Il n'y a pas lieu de 1594s'\'etendre particuli\`erement sur le traitement de certaines fronti\`eres. 1595Ainsi, aux entr\'ees et sorties, on dispose 1596d'une valeur de bord (issue de la r\'esolution du probl\`eme 1597de Riemann) 1598que l'on utilise dans la formule discr\`ete classique donnant le 1599flux\footnote{Les valeurs de $u^2$ et de $\varepsilon_{sup}$ ne sont pas 1600reconstruites pour le calcul du gradient au bord dans 1601$\displaystyle\dive{\left(\frac{K}{C_v}\,\grad{(\frac{1}{2}\,u^2+\varepsilon_{sup})}\right)}$}. 1602La situation est simple aux sym\'etries \'egalement, o\`u un flux nul est impos\'e. 1603 1604Par contre, en paroi, les conditions de temp\'erature ou de flux thermique 1605impos\'e doivent \^etre trait\'ees avec plus d'attention, en particulier 1606lorsqu'une couche limite turbulente est pr\'esente. 1607 1608%--------------------------------- 1609\subsubsection*{Coexistence de deux conditions de bord} 1610%--------------------------------- 1611 1612Comme indiqu\'e dans la partie "discr\'etisation", 1613les conditions de temp\'erature ou de flux conductif 1614impos\'e en paroi se traduisent, 1615pour le flux d'\'energie, au travers du terme 1616$\displaystyle\dive{\left(\frac{K}{C_v}\,\grad\,e\right)}$, 1617en imposant une condition de flux nul sur le terme 1618$\displaystyle-\dive{\left(\frac{K}{C_v}\,\grad{(\frac{1}{2}\,u^2+\varepsilon_{sup})}\right)}$. 1619Les faces IFAC 1620concern\'ees sont rep\'er\'ees dans \fort{cfxtcl} par l'indicateur 1621\var{IA(IIFBET+IFAC-1) = 1} (qui vaut 0 sinon, initialis\'e 1622dans \fort{ppprcl}). 1623 1624Sur ces faces, 1625on calcule une valeur de bord de l'\'energie, qui, introduite dans la 1626formule g\'en\'erale de flux utilis\'ee au bord dans \CS, permettra de retouver le 1627flux souhait\'e. La valeur de bord est une simple valeur num\'erique sans 1628signification physique et ne doit \^etre utilis\'ee que pour calculer le flux 1629diffusif. 1630 1631En plus de cette valeur de bord destin\'ee \`a retrouver le 1632flux diffusif, il est n\'ecessaire de disposer 1633d'une seconde valeur de bord de l'\'energie afin de pouvoir en calculer le 1634gradient. 1635 1636Ainsi, comme pour la vitesse en $k-\varepsilon$, il est n\'ecessaire de 1637disposer pour l'\'energie de deux couples de coefficients 1638(\var{COEFA},\var{COEFB}), correspondant \`a deux valeurs de bord distinctes, 1639dont l'une est utilis\'ee pour le calcul du flux diffusif sp\'ecifiquement. 1640 1641%--------------------------------- 1642\subsubsection*{Calcul des \var{COEFA} et \var{COEFB} pour les faces de paroi 1643\`a temp\'erature impos\'ee} 1644%--------------------------------- 1645 1646Les faces de paroi \var{IFAC} \`a temp\'erature impos\'ee sont identif\'ees par 1647l'utilisateur dans \fort{uscfcl} au moyen de l'indicateur 1648\var{ICODCL(IFAC,ISCA(ITEMPK))=5} (noter que 1649ce tableau est associ\'e \`a la temp\'erature). 1650 1651Dans \fort{cfxtcl}, on impose alors \var{ICODCL(IFAC,ISCA(IENERG))=5} et 1652on calcule la quantit\'e 1653$C_v\,T_{imp,ext}+\frac{1}{2}u^2_{I}+\varepsilon_{sup,I}$, que l'on 1654stocke dans \var{RCODCL(IFAC,ISCA(IENERG),1)} (on ne reconstruit pas les 1655valeurs de $u^2$ et $\varepsilon_{sup}$ au bord, cf. \S\ref{Cfbl_Cfxtcl_prg_a_traiter}). 1656 1657\`A partir de ces valeurs de \var{ICODCL} et \var{RCODCL}, 1658on renseigne ensuite dans \fort{clptur} 1659les tableaux de conditions aux limites permettant le calcul du flux~: 1660\var{COEFA(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEFF))} et 1661\var{COEFB(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEFF))} (noter 1662l'indicateur \var{ICOEFF} qui renvoie aux coefficients d\'edi\'es au flux 1663diffusif). 1664 1665 1666%--------------------------------- 1667\subsubsection*{Calcul des \var{COEFA} et \var{COEFB} pour les faces de paroi 1668\`a flux thermique impos\'e} 1669%--------------------------------- 1670 1671Les faces de paroi \var{IFAC} \`a flux thermique 1672impos\'e sont identif\'ees par 1673l'utilisateur dans \fort{uscfcl} au moyen de l'indicateur 1674\var{ICODCL(IFAC,ISCA(ITEMPK))=3} (noter que le tableau est 1675associ\'e \`a la temp\'erature). 1676 1677Dans \fort{cfxtcl}, on impose alors \var{ICODCL(IFAC,ISCA(IENERG))=3} et 1678on transf\`ere la valeur du flux de \var{RCODCL(IFAC,ISCA(ITEMPK),3)} 1679\`a \var{RCODCL(IFAC,ISCA(IENERG),3)}. 1680 1681\`A partir de ces valeurs de \var{ICODCL} et \var{RCODCL}, 1682on renseigne ensuite dans \fort{condli} les tableaux de conditions aux limites 1683permettant le calcul du flux, 1684\var{COEFA(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEFF))} et 1685\var{COEFB(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEFF))} (noter 1686l'indicateur \var{ICOEFF} qui renvoie aux coefficients d\'edi\'es au flux 1687diffusif). 1688 1689%--------------------------------- 1690\subsubsection*{Gradient de l'\'energie en paroi \`a temp\'erature ou \`a flux thermique impos\'e} 1691%--------------------------------- 1692 1693Dans les deux cas (paroi \`a temp\'erature ou \`a flux thermique impos\'e), 1694on utilise les tableaux 1695\var{COEFA(*,ICLRTP(ISCA(II),ICOEF))}, 1696\var{COEFB(*,ICLRTP(ISCA(II),ICOEF))} (noter le \var{ICOEF}) pour disposer d'une 1697condition de flux nul pour l'\'energie (avec \var{II=IENERG}) et 1698pour la temp\'erature (avec \var{II=ITEMPK}) 1699si un calcul de gradient est requis. 1700 1701Un gradient est en particulier utile pour les reconstructions 1702de l'\'energie sur maillage non orthogonal. 1703Pour la temp\'erature, il s'agit d'une pr\'ecaution, au cas 1704o\`u l'utilisateur aurait besoin d'en calculer le gradient. 1705 1706%--------------------------------- 1707\subsubsection*{Autres fronti\`eres que les parois \`a temp\'erature ou \`a flux thermique impos\'e} 1708%--------------------------------- 1709 1710Pour les fronti\`eres qui ne sont pas des parois \`a temp\'erature ou 1711\`a flux thermique impos\'e, les conditions aux limites de l'\'energie et 1712de la temp\'erature sont compl\'et\'ees classiquement dans \fort{condli} selon 1713les choix faits dans \fort{cfxtcl} pour \var{ICODCL} et \var{RCODCL}. 1714 1715En particulier, 1716dans le cas de conditions de Dirichlet sur l'\'energie (entr\'ees, sorties), les 1717deux jeux de conditions aux limites sont identiques (tableaux 1718\var{COEFA}, \var{COEFB} avec \var{ICOEFF} et \var{ICOEF}). 1719 1720Si un flux est impos\'e pour l'\'energie totale (condition assez rare, 1721l'utilisateur ne raisonnant pas, 1722d'ordinaire, en \'energie totale), on le stocke au moyen de 1723\var{COEFA(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEFF))} et 1724\var{COEFB(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEFF))} (tableaux associ\'es au flux 1725diffusif). Pour le gradient, une condition de flux nul est stock\'ee 1726dans 1727\var{COEFA(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEF))} et 1728\var{COEFB(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEF))}. On peut remarquer que les deux 1729jeux de conditions aux limites sont identiques pour les faces de sym\'etrie. 1730 1731%--------------------------------- 1732\subsubsection*{Impact dans \fort{cfener}} 1733%--------------------------------- 1734 1735Lors de la construction des seconds membres, dans \fort{cfener}, on utilise les 1736conditions aux limites stock\'ees dans les tableaux associ\'es au flux 1737diffusif 1738\var{COEFA(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEFF))} et 1739\var{COEFB(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEFF))} pour le terme de flux diffusif 1740$\displaystyle\dive{\left(\frac{K}{C_v}\,\grad\,e\right)}$ 1741en prenant soin d'annuler la contribution de bord du terme 1742$\displaystyle-\dive{\left(\frac{K}{C_v}\,\grad{(\frac{1}{2}\,u^2+\varepsilon_{sup})}\right)}$ 1743sur les faces pour lesquelles cette condition 1744prend les deux termes en compte, c'est-\`a-dire sur les faces pour lesquelles 1745\var{IA(IIFBET+IFAC-1) = 1}. 1746 1747Pour tous les autres termes qui requi\`erent une valeur de bord, on utilise les 1748conditions aux limites que l'on a stock\'ees au moyen des deux tableaux 1749\var{COEFA(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEF))} et 1750\var{COEFB(*,ICLRTP(ISCA(IENERG),ICOEF))}. Ces conditions sont 1751donc en particulier utilis\'ees pour le calcul du gradient de l'\'energie, 1752lors des reconstructions sur maillage non orthogonal. 1753 1754 1755\newpage 1756%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1757%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1758\section*{Points \`a traiter} 1759%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1760%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1761\label{Cfbl_Cfxtcl_prg_a_traiter}% 1762% propose en patch 1.2.1 1763%Corriger \fort{ppprcl} pour que l'indicateur 1764%\var{IA(IIFBET+IFAC-1)} soit 1765%initialis\'e \`a 0, positionn\'e \`a 1 aux faces de paroi \`a temp\'erature 1766%ou flux thermique impos\'e. Dans \fort{cfener}, lorsque l'indicateur vaudra 1, 1767%on ne prendra pas en compte le flux correspondant \`a 1768%$\displaystyle-\dive{\left(\frac{K}{C_v}\,\grad{(\frac{1}{2}\,u^2+\varepsilon_{sup})}\right)}$. 1769 1770% propose en patch 1.2.1 1771%Pour l'\'energie, on utilise comme diffusivit\'e turbulente la valeur 1772%$\displaystyle \frac{K}{C_v}=\frac{\lambda}{C_v}+\frac{\mu_t}{\sigma_t}$. 1773%Par coh\'erence avec une \'equation 1774%portant sur la temp\'erature, il serait plus logique d'utiliser 1775%$\displaystyle \frac{K}{C_v}=\frac{\lambda}{C_v}+\frac{C_p}{C_v}\,\frac{\mu_t}{\sigma_t}$. 1776%On peut temporairement utiliser le nombre de Prandtl turbulent pour prendre en compte 1777%le rapport $\displaystyle\frac{C_p}{C_v}$, mais il serait 1778%souhaitable de corriger en ce sens le calcul de \var{W1} pour \fort{viscfa} dans 1779%le sous-programme \fort{cfener} et le calcul similaire de \var{HINT} dans 1780%\fort{condli} et \fort{clptur} (RAS pour les conversions en couplage avec \syrthes). 1781 1782Apporter un compl\'ement de test sur une cavit\'e ferm\'ee 1783sans vitesse et sans gravit\'e, avec flux de bord ou temp\'erature de bord impos\'ee. 1784Il semble que le transfert d'\'energie {\it via} les termes de pression g\'en\`ere de 1785fortes vitesses non physiques dans la premi\`ere maille de paroi et que la 1786conduction thermique ne parvienne pas \`a \'etablir le profil de temp\'erature 1787recherch\'e. Il est \'egalement possible que la condition de bord sur la pression 1788g\'en\`ere une perturbation (une extrapolation pourrait se r\'ev\'eler 1789indispensable). 1790 1791Il pourrait \^etre utile de g\'en\'eraliser \`a l'incompressible l'approche 1792utilis\'ee en compressible pour unifier simplement le traitement 1793des sorties de type 9 et 10. 1794 1795Il pourrait \^etre utile d'\'etudier plus en d\'etail l'influence de la non 1796orthogonalit\'e des mailles en sortie supersonique (pas de reconstruction, 1797ce qui n'est pas consistant pour les flux de diffusion). 1798 1799De m\^eme, il serait utile d'\'etudier l'influence de l'absence de 1800reconstruction pour la vitesse et $\varepsilon_{sup}$ dans la relation 1801$\displaystyle T_{I'}=\frac{1}{C_v}\left(e_{I'}-\frac{1}{2}u^2_{i}-\varepsilon_{sup,i}\right)$ 1802utilis\'ee pour les parois \`a temp\'erature impos\'ee. 1803 1804Apporter un compl\'ement de documentation pour le couplage avec \syrthes (conversion 1805\'energie temp\'erature). Ce n'est pas une priorit\'e. 1806 1807Pour les thermodynamiques \`a $\gamma$ variable, il sera n\'ecessaire de 1808modifier non 1809seulement \fort{uscfth} mais \'egalement \fort{cfrusb} qui doit disposer de 1810$\gamma$ en argument. 1811 1812Pour les thermodynamiques \`a $C_v$ variable, il sera n\'ecessaire de 1813prendre en compte un terme en $\grad\,C_v$, issu des flux diffusifs, 1814au second membre de l'\'equation de 1815l'\'energie (on pourra cependant remarquer qu'actuellement, en incompressible, 1816on n\'eglige le terme en $\grad\,C_p$ dans l'\'equation de l'enthalpie). 1817