mfront/finitestrain/finitestrain.tex.in

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% File      : finitestrain.tex
% Author    : th202608@pleiades068.intra.cea.fr
% Date      : 15 oct. 2012
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% \documentclass[rectoverso,pleiades,pstricks,leqno,anti]{note_technique_2010}
\documentclass[rectoverso,pleiades,pstricks,leqno,anti,projet]{note_technique_2010}

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%c from texinfo.tex
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\newcommand{\code}[1]{
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  \end{center}
}

\input{LSC}

\auteurs{T.~Helfer, C.~Ling}
\redacteur{T.~Helfer}
\verificateur{B.~Michel}
\approbateur{B.~Collard}
\emetteur{M.~Baueur}

\titre{Écriture de lois de comportement mécanique en grandes
  transformations avec le générateur de code \mfront{}}

\date{2014}
\numero{}
\indice{0}
\dateversion{}
\numeroaffaire{A-SICOM-A1-01}
\domaine{DEN/DISN/SIMU}
\accords{tripartite}
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\motsclefs{
  \mfront{} - \pleiades{}
}

% \codebarre{images/code_barre}
\diffusionexterne{
{EDF/R\&D}              & O. Marchand     & 1 & Diffusion par\\
{EDF/R\&D}              & P. Vasseur      & 1 & courriel     \\
{EDF/R\&D/AMA}          & É. Lorentz      & 1 & \\
                        & C. Durand       & 1 & \\
{EDF/R\&D/AMA/T64}      & T. de Soza      & 1 & \\
                        & J. Delmas       & 1 & \\
                        & J.M. Proix      & 1 & \\
                        & F. Hammon       & 1 & \\
                        & N. Sellenet     & 1 & \\
{EDF/R\&D/MMC}          & P. Ollar        & 1 & \\
{EDF/R\&D/MMC/MAESTRO}  & N. Rupin        & 1 & \\
                        & F. Latourte     & 1 & \\
{EDF/R\&D/MMC/CPM}      & N. Prompt       & 1 & \\
                        & N. Barnel       & 1 & \\
{EDF/R\&D/MMC/CPM}      & G. Thouvenin    & 1 & \\
                        & F. Douchin      & 1 & \\
                        & R. Largenton    & 1 & \\
                        & C. Petry        & 1 & \\
EDF/SEPTEN              & N. Waeckel      & 1 & \\
                        & C. Chauliac     & 1 & \\
                        & H. Billat       & 1 & \\
                        & C. Bernaudat    & 1 & \\
AREVA NP/LA DEFENSE     & L. Catalani     & 1 & \\
                        & L. Brunel       & 1 & \\
AREVA NP/LYON           & P. Melin        & 1 & \\
                        & V. Bessiron     & 1 & \\
                        & C. Garnier      & 1 & \\
                        & V. Garat        & 1 & \\
                        & F. Arnoux       & 1 &
}
\CoupeListeDiffusion{}
\diffusioninterne{
  DEN/DISN/SIMU       & J.P. Deffain       & 1 & Diffusion par\\
                      & D. Caruge          & 1 & courriel     \\
  DEN/DM2S/SEMT       & X. Averty          & 1 & \\
  DEN/DM2S/SEMT/LM2S  & J.L. Fayard        & 1 & \\
                      & P. Verpeaux        & 1 & \\
                      & A. Millard         & 1 & \\
                      & S. Pascal          & 1 & \\
                      & O. Fandeur         & 1 & \\
  DEN/DMN             & P. Yvon            & 1 & \\
                      & J.L. Seran         & 1 & \\
                      & F. Dalle           & 1 & \\
  DEN/DMN/SRMA        & P. Chapelot        & 1 & \\
                      & S. Carassou        & 1 & \\
                      & B. Marini          & 1 & \\
  DEN/DMN/SRMA/LC2M   & L. Nicolas         & 1 & \\
                      & J. Garnier         & 1 & \\
                      & S. Vincent         & 1 & \\
                      & L. Vincent         & 1 & \\
                      & L. Gelebart        & 1 & \\
                      & M. Sauzay          & 1 & \\
                      & L. Dupuy           & 1 & \\
                      & P. Forget          & 1 & \\
                      & A. Hellouin de Menibus  & 1 & \\
                      & M. Le Saux         & 1 & \\
                      & C. Robertson       & 1 & \\
  DEN/DMN/SRMA/LA2M   & J.-L. Bechade      & 1 & \\
  DEN/DMN/SRMA/LTMEX  & L. Chaffron        & 1 & \\
                      & D. Sornin          & 1 & \\
  DEN/DMN/SEMI        & C. Poussard        & 1 & \\
                      & B. Tanguy          & 1 & \\
  DEN/DMN/SEMI/LCMI   & V. Vandenberghe    & 1 & \\
                      & A. Courcelle       & 1 & \\
                      & F. Hure            & 1 & \\
                      & D. Leboulch        & 1 & \\
                      & Q. Auzoux          & 1 & \\
                      & Y. Robert          & 1 & \\
  DEN/DER/SESI/LE2S   & P. Lamagnère       & 1 & \\
                      & D. Gentet          & 1 & \\
                      & Y. Lejeail         & 1 & \\
                      &                    &  & \\
  DEN/DEC             & P. Brossard        &  & Document disponible\\
  DEN/DEC/PROJETS     & P. Obry            &  & sur intradec\\
  DEN/DEC/SESC        & E. Touron          &  & \\
                      & M. Casella         &  & \\
                      & M. Agard           &  & \\
  DEN/DEC/SESC/LIPA   & C. Nonon-Solaro    &  & \\
                      & C. Bassi           &  & \\
                      & O. Bremond         &  & \\
  DEN/DEC/SESC/LLCC   & V. Basini          &  & \\
                      & J.-M. Escleine     &  & \\
  DEN/DEC/SESC/LC2I   & D. Plancq          &  & \\
                      & S. Bejaoui         &  & \\
                      & V. Blanc           &  & \\
                      & T. Beck            &  & \\
                      & F. Biscarrat       &  & \\
                      & D. Lorenzo         &  & \\
                      & I. Guénot-Delahaie &  & \\
                      & P. Masoni          &  & \\
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                      & M. Zabiego         &  & \\
  DEN/DEC/SESC/LSC    & R. Masson          &  & \\
                      & B. Michel          &  & \\
                      & M. Pelletier       &  & \\
                      & M. Lainet          &  & \\
                      & V. Bouineau        &  & \\
                      & V. Marelle         &  & \\
                      & T. Helfer          &  & \\

}

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\stylebib{@abs_top_srcdir@/docs/tex/texmf/bibtex/fr-insa}
\fichierbib{@abs_top_srcdir@/docs/tex/texmf/bibtex/bibliographie}

\resumecea{
  Nous décrivons dans cette note l'utilisation de \mfront{} pour
  écrire des lois de comportement en grandes transformations.

  Nous commençons par introduire les principaux concepts cinématiques
  et sthéniques nécessaires à l'exposé.
}

\newboolean{pleiades}
\setboolean{pleiades}{false}

\begin{document}

\clearpage
\newpage
\section{Introduction}

\ifthenelse{\boolean{pleiades}}{
  Les applications combustible couvrent un nombre croissant de situations
  mécaniques. Dans un certain nombre de cas, il devient nécessaire de
  quitter le cadre habituel des transformations infinitésimales pour traiter la
  mécanique de manière plus rigoureuse. Citons quelques exemples, parmi
  de nombreux autres~:
  \begin{itemize}
  \item description du ballonnement et de larupture ductile de la
    gaine en APRP~;
  \item analyse de la rupture ductile de la gaine en RIA, par exemple
    dans le cas REP-NA8~;
  \item analyse des résultats d'essais de compression des pastilles
    \(UO_{2}\)~: les déformations rationnelles macroscopiques sont de
    l'ordre de \(20\,\%\), voir \(30\,\%\) localement dans la plupart
    des essais. Au niveau du grain, une approche micro-mécanique de ces
    essais conduirait probablement à des effets typiques des
    transformations finies~: rotation du réseau cristallin, déformations
    locales aux joints très élevées.
  \end{itemize}
  Notons dès à présent que les grandes transformations ne se limitent
  pas aux grandes déformations~: l'effet des rotations, trop souvent
  négligé, peut être crucial.

  Au delà de l'aspect physique, notons que le code \castem{} oblige
  l'emploi des transformations finies dès qu'il est nécessaire de
  gérer le contact entre différents objets (situation assez
  \og{}~commune~\fg{} dans nos calculs)~: la compréhension {\tt a
    minima} des algorithmes de résolutions mécaniques à la base de nos
  applications combustible demande une certaine familiarité avec les
  transformations finies. Nous verrons dans cette note que le
  traitement par défaut fait dans \castem{} est critiquable et
  incompatible en théorie avec la plupart des lois de comportement
  utilisées dans la plateforme (qu'elles soient écrites en \mfront{}
  ou pas). Relativisons tout de suite~: en pratique, tant que l'on
  reste dans des conditions proches des transformations
  infinitésimales, les approximations commises avaient sans doute un
  impact assez faible. Par contre, dès que les effets de
  transformations finies deviennent importants, en termes de
  déformation ou de rotation, il ne nous semble plus possible de se
  reposer sur \castem{} pour faire \og{}~magiquement~\fg{} le travail.
}{}

Les transformations finies sont considérées comme difficiles d'accès,
en particulier par les étudiants et les ingénieurs en mécanique. Pour
comprendre une partie leur malaise, nous pouvons reprendre la
métaphore de François Sidoroff, dont l'influence sur le sujet a été
énorme~\cite{sidoroff_cours_1982}~:
\begin{quotation}
  Comme dans une bonne recette de cuisine, il y a dans toute théorie
  en grandes transformations deux composantes~: des ingrédients de
  base, [c'est à dire] les hypothèses physiques ou mécaniques qui sont
  le plus souvent voisines de celles faites en petites déformations,
  et une sauce, [c'est à dire] le formalisme traduisant ces hypothèses
  de manière convenable. Ce formalisme, très technique et géométrique,
  constitue pour le profane un obstacle majeur à la compréhension...
\end{quotation}
Cette \og{}~sauce~\fg{} est précisément ce que nous avons qualifié de
\og{}~magique~\fg{} au paragraphe précédent. Nous voyons là toute la
difficulté des grandes transformations~: l'ingénieur - le profane de
la métaphore - se retrouve à manipuler des concepts presque familiers
mais dont la définition précise lui échappe ou lui est cachée.

Notons que les hypothèses physiques vraiment importantes, les
ingrédients de base, sont en fait en nombre réduit~:
\begin{itemize}
\item on veut garantir que les écoulements plastiques et
  viscoplastiques se font de manière isochore~;
\item on veut garantir que les lois sont indépendantes de
  l'observateur et qu'une rotation d'ensemble n'induit pas de
  contraintes~: c'est la notion d'objectivité~;
\item on veut être cohérent d'un point de vue thermodynamique~;
\end{itemize}

Dans l'idéal, on souhaiterait également~:
\begin{itemize}
\item pouvoir garantir que lorsque le comportement du matériau est
  réversible, il n'y a pas de dissipation d'énergie~: on parle
  d'hyperélasticité~;
\item pouvoir écrire nos lois de comportement comme en transformations
  infinitésimales, cela signifie pouvoir décomposer de manière
  additive la déformation (reste à préciser laquelle) en une partie
  élastique et une partie plastique~;
\item pouvoir traiter des matériaux anisotropes~;
\item pouvoir décrire des dilatations libres, comme la dilatation
  thermique, des gonflements dus à l'irradiation, ou des changements
  de phases~;
\item pouvoir traiter des comportements complexes, par exemple
  incluant des écrouissages cinématiques~;
\end{itemize}
Nous verrons différentes sauces, plus ou moins élaborées que nous
pourrons juger à l'aune de ces critères.

Au lecteur pressé, donnons déjà une des conclusions~: l'approche la
plus adaptée pour décrire des comportements macroscopiques est
aujourd'hui celle des déformations logarithmiques, introduites par
Miehe en 2002~\cite{miehe_anisotropic_2002}\footnote{Nous avons appris
  l'existence lors de notre travail avec l'équipe \aster{} qui nous
  l'a chaudement recommandé~: nous les en
  remercions~\cite{bargellini_modeles_2013}.}. Les déformations
logarithmiques ont des caractéristiques qui en font, pour reprendre la
métaphore de F. Sidoroff, la meilleure sauce que l'on connaisse
actuellement~:
\begin{itemize}
\item les lois s'écrivent comme en \og{}~petites pertubations~\fg{},
  c'est à dire que l'on peut, sans état d'âme, décomposer les
  déformations de manière additive. Cette décomposition sera
  \og{}~cohérente~\fg{} au sens où une déformation de trace nulle
  décrit un écoulement (plastique ou viscoplastique) isochore~: cette
  propriété est la base de la formulation de la plupart des lois de
  comportement plastique ou viscoplastique. Une autre façon de voir
  les choses est dire que le formalisme des déformations
  logarithmiques permet de construire une loi grandes transformations
  en partant d'une loi écrite dans le cadre des transformations
  infinitésimales.
\item les lois ainsi obtenues sont parfaitement valides en grandes
  transformations~: elles sont en particulier objectives, ce qui est
  une des grandes difficultés des grandes transformations. Nous
  reviendrons sur la notion d'objectivité dans le texte~;
\item pour peu que l'on se base sur une loi \og{}~petites
  pertubations~\fg{} cohérente du point de vue thermodynamique, on
  obtiendra via le formalisme des déformations logarithmiques, une loi
  grandes transformations cohérente du point de vue
  thermodynamique. Ceci est dû à la construction énergétique du
  formalisme.
\item à la limite des petites perturbations, on retrouvera les mêmes
  résultats que la loi \og{}~petites déformations~\fg{} de départ.
\item le formalisme se base sur une mesure logarithmique des
  déformations, le tenseur de \nom{Hencky}. Ce choix est très naturel
  aux expérimentateurs, dans les cas des métaux notamment, qui parlent
  parfois de \og{}~déformation vraie~\fg{}.
\item il s'agit d'un formalisme portable entre les différents codes
  aux éléments finis (le seul ?)~: il est disponible dans \aster{} et
  \zebulon{} notamment. Dans les autres cas, \castem{} notamment, il
  peut être gérer par \mfront{}.
\end{itemize}

Ce formalisme se décrit en un petit paragraphe, à condition d'avoir
introduit quelques notions préalables. Celles-ci sont nécessaires pour
ne pas substituer à une \og{}~magie~\fg{} (la stratégie par défaut de
\castem{}) une autre magie (les déformations logarithmiques).

La présentation des seules déformations logarithmiques n'est cependant
pas suffisante pour notre propos~:
\begin{itemize}
\item il nous faut comprendre les diverses stratégies proposées par
  \castem{}.
\item il nous semble dommage d'exclure la multitude des lois écrites
  en grandes transformations~: de nombreuses lois intéressantes sont
  écrites sans tenter de rentrer dans le formalisme HPP.
\item le formalisme des déformations logarithmiques ne permet pas de
  décrire tous les cas. Notamment, les lois de plasticité cristalline
  ne peuvent être écrites dans ce cadre pour traiter convenablement
  les effets dus à la rotation du réseau.
\end{itemize}

% \subsection{}

% VLes grandes transformations sont cependant encore peu utilisés

% Plusieurs mythes entourent les grandes transformations~:
% \begin{itemize}
% \item elles sont réputées inutiles, au moins pour les applications
%   combustible.
% \item elles sont réputées difficiles d'approche~;
% \end{itemize}

% Nous pensons ces deux affirmations fausses. Avant d'introduire cette
% note, il nous paraît intéressant de démystifier les grandes
% transformations pour partir sur des bases saines.

% Pour traiter les grandes transformations, les approches de la
% littérature se classent grossièrement en deux catégories~:
% \begin{enumerate}[-]
% \item l'adoption explicite d'un des nombreux formalismes \og~grandes
%   transformations~\fg{}.
% \item une réutilisation {\em ad hoc} des lois écrites dans le
%   formalisme des petites déformations. Nous proposerons plusieurs
%   stratégies pour cela. Insistons sur le fait que nous cherchons
%   uniquement à réutiliser le formalisme des lois petites déformations
%   et que dans la plupart des cas nous ne pourrons pas étendre le
%   domaine de validité d'une loi particulière~: on ne pourra pas se
%   passer d'une étape d'identification des paramètres de la loi une
%   fois une \og~stratégie grandes transformations~\fg{} choisie.
% \end{enumerate}

% \subsection{Écritures de lois en grandes transformations}

% La principale difficulté de la première approche est que ces
% formalismes introduisent de nombreuses notions spécifiques aux grandes
% déformations, ce qui peut rebuter les ingénieurs non spécialistes de
% ce sujet. Dans ce document, nous étudierons les lois suivantes~:
% \begin{enumerate}[-]
% \item la loi de \nom{Saint-Venant Kirchhoff} au
%   paragraphe~\ref{sec:loi-hyper-de-1}~;
% \item les lois de comportement hyperélastiques néo-hookéen au
%   paragraphe~\ref{sec:loi-hyperl-neo}~;
% \item la loi plastique et/ou plastique de \nom{Simo-Miehe} au
%   paragraphe~\ref{sec:loi-plastique-de}.
% \end{enumerate}
% L'étude de ces modèles vise à démontrer les capacités de \mfront{} à
% implanter des modèles écrits en grandes transformations et nous
% insisterons plus sur l'implantation de la loi et les cas tests de
% qualification, renvoyant aux éléments bibliographiques pour une
% présentation de la physique.

% \subsection{Stratégies de réutilisations des lois en petites
%   transformations}

% Pour la plupart des applications pratiques, il nous semble plus
% judicieux de chercher à étendre les lois écrites en petites
% déformations. L'utilisateur final pourra ainsi piocher dans les
% nombreuses lois déjà écrites et dont le sens physique est souvent bien
% connu.

% Après une rapide bibliographie au
% paragraphe~\ref{sec:bibl-meth-class}, nous retiendrons deux types
% d'approches~:
% \begin{itemize}
% \item les approches lagrangiennes. Parmi celle-ci, nous présenterons
%   en détails l'approche \og~grandes rotations, petites
%   déformations\fg{} et l'approches par les déformations logarithmiques
%   qui nous paraissent particulièrement adaptées aux applications
%   combustibles~;
% \item les approches eulériennes et en particulier l'écriture des lois
%   de comportements dans un référentiel local objectif.
% \end{itemize}
% verrons dans cette catégorie les approches incrémentales
% de la plasticité basées sur la décomposition additive du taux
% déformation eulérien et sur l'utilisation d'une dérivée objective des
% contraintes. Malgré de nombreux défauts théoriques, ces approches ont
% été et sont encore très utilisées.


\clearpage
\newpage
\section{Notions générales}

\subsection{Transformation, gradient de la transformation, tenseurs de
  déformations, taux de déformation}

L'évolution de la géométrie d'un corps se traduit par l'existence
d'une transformation \(\vec{\phi}\) qui associe à chaque position
initiale \(\vec{X}\) sa nouvelle position \(\vec{x}\) à l'instant
\(t\)~:
\begin{equation}
  \label{eq:x}
  \vec{x} = \vec{\phi}\paren{\vec{X},t}
\end{equation}

Le champ de déplacement \(\vec{u}\) est défini par la différence entre
la position actuelle du point et sa position initiale~:
\[
\vec{u}=\vec{x}-\vec{X}=\vec{\phi}\paren{\vec{X}}-\vec{X}
\]

Le déplacement ne peut servir à caractériser la sollicitation locale
du matériau~: il suffit pour s'en convaincre de considérer que la
sollicitation du matériau doit être la même pour deux observateurs
animés d'un mouvement relatif rectiligne à vitesse uniforme. Par
contre, le gradient du déplacement, qui est identique pour ces deux
observateurs, est une mesure possible (de la sollicitation).

Les théories de premier gradient, les plus usuelles en mécanique,
supposent que seul le gradient de la transformation \(F\) caractérise la
sollicitation locale d'un point matériel~:
\begin{equation}
  \label{eq:F}
  \tenseur{F}=\derivtot{\vec{x}}{\vec{X}}=\tenseur{I}+\vec{\nabla}\,\vec{u}
\end{equation}
Seules ces théories seront considérés dans le cadre de cette note.

Le changement de volume est caractérisé par le déterminant \(J\) de \(F\)~:
\begin{equation}
  \label{eq:J}
  J=\det\paren{F}
\end{equation}
L'incompressibilité se traduit par la relation~:
\begin{equation}
  \label{eq:incompressibilite}
  J=1
\end{equation}

{\em La condition d'incompressibilité~\eqref{eq:incompressibilite} est
  centrale dans nos discussions, car les écoulements plastiques et
  viscoplastiques sont supposés isochores.}

\paragraph{Transports géométriques} Nous renvoyons aux ouvrages de
référence qui démontrent comment un segment, une surface et un volume
se transforment par le gradient de la
transformation~\cite{forest_mecanique_2013}. Nous avons les relations
suivantes~:
\begin{enumerate}[-]
\item pour le transport d'un segment \(\dtot\vec{X}\) joignant deux
  points infiniment proches dans la configuration initiale~:
  \begin{equation}
    \label{eq:finitestrain:dl}
    \dtot\vec{x} = \tns{F}\,.\,\dtot\vec{X}
  \end{equation}
  Cette relation est évidente d'après la définition~\eqref{eq:F} de
  \(\tns{F}\).
\item pour le transport d'un élément de surface~:
  \begin{equation}
    \label{eq:finitestrain:dS}
    \dtot\vec{s} = J\,\invtranspose{\tns{F}}\,.\,\dtot\vec{S}
  \end{equation}
\item pour le transport d'un élément de volume~:
  \begin{equation}
    \label{eq:finitestrain:dV}
    \dtot\, v = J\, \dtot\, V
  \end{equation}
\end{enumerate}

\subsubsection{Configurations intermédiaires}

Supposons qu'une transformation, notée \(\vec{\phi}_{0\rightarrow 2}\),
puisse se faire en deux étapes~:
\begin{enumerate}[-]
\item la première transformation, notée \(\vec{\phi}_{0\rightarrow 1}\), permet de passer
  de la géométrie initiale à une géométrie intermédiaire~;
\item la seconde transformation, notée \(\vec{\phi}_{1\rightarrow 2}\),
  permet de passer de cette géométrie intermédaire à la géométrie
  finale.
\end{enumerate}
La transformation \(\vec{\phi}_{0\rightarrow 2}\) est la composition de ces
deux transformations~:
\[
\vec{\phi}_{0\rightarrow 2}\paren{\vec{X}} = \vec{\phi}_{1\rightarrow 2}\paren{\vec{\phi}_{0\rightarrow 1}\paren{\vec{X}}}
\]

Par dérivation en chaîne, cette relation permet de relier les
gradients de la transformation mesurée sur chacune des géométries~:
\begin{equation}
  \label{eq:F02}
  \tns{F}_{0\rightarrow 2}=\tns{F}_{1\rightarrow 2}\,.\,\tns{F}_{0\rightarrow 1}
\end{equation}

En pratique, le mouvement est décrit de manière incrémentale,
l'équation~\eqref{eq:F02} permet alors de décomposer le passage de la
configuration à l'instant initial \(t_{0}\) à la configuration en fin
de pas de temps, à l'instant \(t+\Delta\,t\), en passant par la
configuration en début de pas, à l'instant \(t\)~:
\begin{equation}
  \label{eq:F02}
  \tns{F}_{t_{0}\rightarrow t+\Delta\,t}=\tns{F}_{t\rightarrow t+\Delta\,t}\,.\,\tns{F}_{t_{0}\rightarrow t}
\end{equation}

\subsubsection{Décompositions polaires de la transformation}
\label{sec:decomp-pola-de}

La première décomposition polaire du gradient de la transformation
\(F\) s'écrit~:
\begin{equation}
  \label{eq:finitestrain:decomposition_polaire}
  \tns{F}=\tns{R}\,.\tenseur{U}
\end{equation}
où~:
\begin{minipage}[t]{0.9\linewidth}
  \begin{itemize}
  \item \(\tns{R}\) est une rotation~;
  \item \(\tenseur{U}\) est un tenseur symétrique défini positif
    décrivant l'élongation du milieu.
  \end{itemize}
\end{minipage}

On montre que cette décomposition est
unique~\cite{forest_mecanique_2013}.

En comparant les expressions~\eqref{eq:F02}
et~\eqref{eq:finitestrain:decomposition_polaire}, nous pouvons
décomposer localement le mouvement en deux~:
\begin{enumerate}[-]
\item la transformation de la géométrie initiale en une géométrie
  intermédiaire dilatée~;
\item la rotation de cette géométrie intermédiaire.
\end{enumerate}
Le tenseur \(\tenseur{U}\) étant mesuré à partir de la configuration
initiale, il est dit {\em lagrangien}.

Une seconde décomposition polaire de la transformation existe~:
\begin{equation}
  \label{eq:finitestrain:decomposition_polaire2}
  \tns{F}=\tenseur{V}\,.\tns{R}
\end{equation}
où~:
\begin{minipage}[t]{0.9\linewidth}
  \begin{itemize}
  \item \(\tns{R}\) est une rotation~;
  \item \(\tenseur{V}\) est un tenseur symétrique défini positif
    décrivant l'élongation du milieu~;
  \end{itemize}
\end{minipage}

On montre que cette décomposition est là aussi unique et que la
rotation \(\tns{R}\) est la même que celle définie par la première
décomposition~\eqref{eq:finitestrain:decomposition_polaire}.

Le tenseur \(\tenseur{V}\) étant mesuré à partir d'un référentiel
donné par rotation \(\tns{R}\), il est dit {\em eulérien}.

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics[width=0.55\linewidth]{@top_srcdir@/docs/mfront/Images/Polar_decomposition_of_F.eps}
  \caption{Décompositions de la transformation en une dilatation et
    une rotation. Illustration de la signification physique des
    décompositions polaires du gradient de la transformation. Figure
    tirée de \nom{Wikipédia}~\cite{wikipedia_finite_2014}.}
  \label{fig:finitestrain:polar_decomposition}
\end{figure}

Ces deux décompositions sont illustrées en
figure~\ref{fig:finitestrain:polar_decomposition}.

\paragraph{Changement de volume} Une rotation étant une transformation
isochore, le changement de volume est lié à \(\tenseur{U}\) ou à
\(\tenseur{V}\)~:
\[
J=\det\paren{\tns{F}}=\det\paren{\tenseur{U}}=\det\paren{\tenseur{V}}
\]

\paragraph{Remarque sur les lois de comportement et l'objectivité} Une
rotation d'ensemble d'une structure ne doit pas générer de
contraintes. Ceci signifie que la rotation \(\tns{R}\) ne doit pas
intervenir dans la loi de comportement.

Ceci exprime, sous une forme quelque peu simplifiée, ce que l'on
appelle le principe d'objectivité.

Il semble très simple d'écrire une loi objective. C'est le cas si l'on
exprime les lois de comportement qu'en fonction de \(\tenseur{U}\) ou
de \(\tenseur{V}\). D'autres solutions existent, mais elles sont en
général plus complexes.

\paragraph{Sur l'évolution des tenseurs eulériens} Le fait que les
tenseurs eulériens soient définis sur une configuration variable dans
le temps est la principale difficulté à leur utilisation.

En effet, dès que l'on travaillera sur des lois de comportement, il
faudra prendre garde à porter les quantités d'intérêt
(contraintes, déformations, variables internes, etc...) d'un
référentiel à l'autre. De notre point de vue, il nous semble que plus
de \(30\) ans de littérature sur le sujet montre qu'il s'agit en fait
d'une boîte de Pandore qui repose de manière insidieuse la question de
l'objectivité des lois~: il est souvent très technique de proposer des
formules de transport ad hoc.

Comment donc expliquer le recours systématique aux approches
eulériennes en élasto-plasticité ? Le fait est que les approches
eulériennes se prêtent bien à la description des fluides et que
l'image, le dogme pourrait-on dire, qui a prévalu est que l'écoulement
plastique est l'écoulement d'un fluide.

Cette vision de la plasticité a favorisé l'expression de lois écrites
en vitesse qui amènent aux pires difficultés~: formalismes
hypoélastiques, formalisme de langrangien réactualisé, dérivées
objectives, référentiels corotationnels, etc...

Ces notions, leurs complexités intrinsèques, ont fait fuir de nombreux
ingénieurs. On comprendra alors pourquoi nous privilégierons les
approches lagrangiennes. Cependant, les approches eulériennes
imprègnent encore la plupart des codes de calcul, dont \castem{}, et
c'est pour cette raison que nous en parlerons dans cette note.

\subsubsection{Tenseurs de déformation}

Dans le cadre des petites perturbations, il est classique de définir
la déformation linéarisée \(\tepsilonto_{\text{HPP}}\) qui est égale
à~:
\[
\tepsilonto_{\text{HPP}}=\Frac{1}{2}\,\paren{\vec{\nabla}\,\vec{u}+\transpose{\vec{\nabla}\,\vec{u}}}
\]
Ce tenseur n'est pas une bonne mesure des déformations puisqu'il ne
filtre pas la rotation \(\tns{R}\). Il faut donc adopter une autre
définition valide en grandes rotations. Nous verrons qu'il en existe
une infinité.

Rappelons tout d'abord que les \(\tenseur{U}\) et \(\tenseur{V}\) sont
diagonalisables. Pour simplifier, considérons \(\tenseur{U}\)
uniquement. Soient \(\lambda_{i}\) ses valeurs propres et
\(\tenseur{n}_{i}\) les tenseurs propres associés~:
\[
\tenseur{U}=\sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}\,\tns{n}_{i}
\]

Pour toute fonction scalaire \(f\), il est possible de définir un
tenseur \(f\paren{\tenseur{U}}\) par la relation~:
\[
f\paren{\tenseur{U}}=\sum_{i=1}^{3}f\paren{\lambda_{i}}\,\tns{n}_{i}
\]

On définira un tenseur de déformation lagrangien à partir de
l'application d'une fonction scalaire \(f\) possédant les
caractéristiques suivantes~:
\begin{itemize}
\item \(f\) est strictement croissante~;
\item \(f\) est nulle en \(0\)~;
\item \(f\) est dérivable en \(0\) et de dérivée \(1\)~;
\end{itemize}
au tenseur \(\tenseur{U}\). Les deux dernières propriétés visent à imposer
qu'à la limite des petites perturbations, le tenseur ainsi défini
tende vers \(\tepsilonto_{\text{HPP}}\).

Citons deux exemples classiques~:
\begin{itemize}
\item le tenseur de \nom{Green-Lagrange} \(\egl\)~:
  \begin{equation}
    \label{eq:EGL}
    \egl=\Frac{1}{2}\paren{\tenseur{U}^{2}-\tenseur{I}}=\Frac{1}{2}\paren{\tenseur{C}-\tenseur{I}}
  \end{equation}
\item le tenseur de \nom{Hencky} \(\tepsilonto_{\log}\)~:
  \begin{equation}
    \label{eq:ELOG}
    \tepsilonto_{\log}=\log\paren{\tenseur{U}}=\Frac{1}{2}\log\paren{\tenseur{C}}
  \end{equation}
\end{itemize}
où nous avons fait apparaître le tenseur de \nom{Cauchy} droit~:
\begin{equation}
  \label{eq:CauchyRightTensor}
  \tenseur{C}=\transpose{\tns{F}}\,.\,\tns{F}
\end{equation}
Ce tenseur est intéressant en pratique car il évite de devoir faire la
décomposition polaire de \(\tns{F}\).

On peut définir de la même manière une infinité de tenseurs de
déformation eulériens. Le plus utilisé est le tenseur
d'\nom{Almansi-Euleur} défini par~:
\[
\Frac{1}{2}\paren{\tenseur{I}-\tenseur{V}^{-2}}
\]

\paragraph{Du choix d'un tenseur de déformation} Soulignons encore
qu'aucun tenseur de déformation n'est plus physique qu'un autre~: ils
contiennent tous la même information physique. Le choix d'un tenseur
de déformation pour exprimer la loi de comportement est
essentiellement un choix d'habitude et de convenance.

Certains seront cependant plus pratiques que d'autres, pour
l'expression des lois de comportement. Par exemple, le tenseur de
\nom{Hencky} vérifie\footnote{Afin d'obtenir le
  résultat~\eqref{eq:J_Hencky}, considérons les trois valeurs propres
  \(\lambda_{i}\) de \(\tenseur{U}\). \(J\) est égal au produit des
  \(\lambda_{i}\). Nous avons alors~:
\[
\trace{\tepsilonto_{\log}}=\sum_{i=1}^{3}\log\paren{\lambda_{i}}=\log\paren{\prod_{i=1}^{3}\lambda_{i}}=\log\paren{J}
\]
}~:
\begin{equation}
  \label{eq:J_Hencky}
  J=\exp\paren{\trace{\tepsilonto_{\log}}}
\end{equation}
C'est à dire qu'un écoulement de trace nulle est isochore. Cette
propriété est essentielle puisqu'elle nous permettra de décrire les
comportements élasto-plastiques avec le même formalisme qu'en petites
déformations~: on pourra décomposer additivement la déformation
logarithmique totale en une partie élastique et une partie plastique
de trace nulle. Ce tenseur a de plus l'autre avantage d'être familier
des expérimentateurs qui l'appellent parfois la déformation
\og{}~vraie~\fg{} (expression qui n'a pas de sens en réalité).


\subsubsection{Vitesses, taux de déformation et de rotation}

La vitesse d'un point décrit la variation de sa position entre deux
instants infiniment proches. Dans une description eulérienne, la
vitesse sera fonction de la position \(\vec{x}\) du point dans la
configuration déformée, alors que dans une description lagrangienne,
on considérera la vitesse comme une fonction de la position
\(\vec{X}\) du point dans la configuration initiale.

La vitesse ne peut pas intervenir pour décrire les variations de
sollicitation d'un matériau, pour les mêmes raisons que le déplacement
ne peut intervenir pour décrire la sollicitation~: seul le gradient de
ces quantités doit intervenir. Désignons par \(\tns{L}\) le gradient
de la vitesse par rapport à \(\vec{x}\)~:
\begin{equation}
  \label{eq:L}
  \tns{L} = \deriv{\vec{\dot{x}}}{\vec{x}}
\end{equation}

Le gradient de la vitesse \(\tns{L}\) peut être relié à la dérivée
temporelle du gradient de la transformation \(\dot{\tns{F}}\). Pour
cela, considérons l'évolution d'un segment \(\dtot\vec{\dot{x}}\)
joignant deux points infiniment proches dans la configuration
actuelle. D'après l'équation~\eqref{eq:L}, nous avons~:
\[
\dtot\vec{\dot{x}}=\tns{L}\,.\,\dtot\vec{x}
\]

Par dérivation par rapport au temps de
l'équation~\eqref{eq:finitestrain:dl}, nous avons par ailleurs~:
\[
\dtot\vec{\dot{x}}=\tns{\dot{F}}\,.\,\dtot\vec{X}=\tns{\dot{F}}\,.\,\tns{F}^{-1}\,.\,\dtot\vec{x}
\]

Nous déduisons des deux équations précédentes l'égalité suivante~:
\begin{equation}
  \label{eq:L2}
  \tns{L} = \tns{\dot{F}}\,.\,\tns{F}^{-1}
\end{equation}

Le tenseur \(\tns{L}\) est classiquement décomposé en partie
symétrique \(\tenseur{D}\) et anti-symétrique \(\tns{w}\)~:
\begin{equation}
  \label{eq:D}
  \left\{
    \begin{aligned}
      \tenseur{D} &= \Frac{1}{2}\paren{\tns{L}+\transpose{\tns{L}}} \\
      \tns{w}     &= \Frac{1}{2}\paren{\tns{L}-\transpose{\tns{L}}} \\
    \end{aligned}
  \right.
\end{equation}

Le tenseur \(\tenseur{D}\) est appelé {\em taux de déformation} du
matériau, tandis que \(\tns{w}\) est le {\em taux de rotation}.

Pour justifier la définition de \(\tenseur{D}\), regardons comment
évolue la longueur d'un segment infinitésimal \(\dtot\vec{x}\)~:
\[
\derivtot{}{t}\paren{\dtot\vec{x}\,.\,\dtot\vec{x}}=\dtot\vec{\dot{x}}\,.\,\dtot\vec{x}+\dtot\vec{x}\,.\,\dtot\vec{\dot{x}}=\dtot\vec{x}\,.\,\transpose{\tns{L}}\,.\,\dtot\vec{x}+\dtot\vec{x}\,.\,\tns{L}\,.\,\dtot\vec{x}=2\,\dtot\vec{x}\,.\,\tenseur{D}\,.\,\dtot\vec{x}
\]

\paragraph{Changement de volume} La formule de dérivation du
déterminant s'écrit~\cite{petersen_matrix_2008}~:
\[
\derivtot{J}{t}=\derivtot{}{t}\det\paren{F}=\det\paren{F}\,\trace\paren{\tns{\dot{F}\,.\,\tns{F}^{-1}}}=J\,\trace{\tenseur{D}}
\]
Ainsi, un écoulement dont le taux de déformation est de trace nulle
est isochore.

\paragraph{Lien entre \(\tenseur{D}\) et \(\tenseur{\dot{C}}\)} Nous
avons la relation suivante~:
\begin{equation}
  \label{eq:D_C}
  \tenseur{D}=\tns{F}^{-T}\,.\,\tdepsilonto_{\text{GL}}\,.\,\tns{F}^{-1}=\Frac{1}{2}\tns{F}^{-T}\,.\,\tenseur{\Dot{C}}\,.\,\tns{F}^{-1}
\end{equation}
Cette relation s'obtient par dérivation de la
définition~\eqref{eq:CauchyRightTensor} de \(\tenseur{C}\)~:
\[
\tns{F}^{-T}\,.\,\tenseur{\dot{C}}\,.\,\tns{F}^{-1}=
\tns{F}^{-T}\,.\,\paren{\transpose{\tns{\dot{F}}}\,.\,\tns{F}+\transpose{\tns{F}}\,.\,\tns{\dot{F}}}\,.\,\tns{F}^{-1}=
\tns{F}^{-T}\transpose{\tns{\dot{F}}}+\tns{\dot{F}}\,.\,\tns{F}^{-1}=2\,\tenseur{D}
\]


\subsection{Équilibre mécanique, contrainte de Cauchy, puissance
  mécanique et contraintes définies par dualité}

\subsubsection{Équilibre mécanique, contrainte de \nom{Cauchy}}

La contrainte de \nom{Cauchy} \(\tsigma\) est la contrainte associant
à une surface unitaire \(\dtot\, \vec{s}\) de la configuration
déformée la force \(\dtot\, \vec{f}\) agissant sur cette surface~:
\[
\dtot\, \vec{f} = \tsigma\,.\,\dtot\, \vec{s}
\]
De ce fait, la contrainte de \nom{Cauchy} est souvent appelée
contrainte \og{}~vraie~\og{} et se calcule, dans un essai de traction,
en rapportant la force mesurée à la section actuelle de
l'échantillon. Il s'agit d'un tenseur symétrique en l'absence de
moments magnétiques.

En l'absence de forces volumiques, l'équilibre mécanique de la
structure s'écrit, en chaque point de la géométrie déformée~:
\[
\mathop{div}\tsigma=0
\]
où l'opérateur divergence se calcule sur la géométrie actuelle.

\subsubsection{Puissance mécanique}

On montre que la puissance mécanique \(\mathcal{P}\) est égale à~:
\[
\mathcal{P}=\int_{\Omega_{t}}\tsigma\,\colon\,\tenseur{D}\,\dtot\,v
\]

Dans la suite, nous nous intéresserons principalement aux approches
lagrangiennes. La dissipation s'écrit, dans la configuration
initiale~:
\[
\mathcal{P}=\int_{\Omega_{0}}J\,\tsigma\,\colon\,\tenseur{D}\,\dtot\,V
\]

\paragraph{Contrainte de \nom{Kirchhoff}} La quantité
\(\tenseur{\tau}=J\,\tsigma\) définit un nouveau tenseur des
contraintes, la contrainte de \nom{Kirchhoff}.

\subsubsection{Contraintes définies par dualité}

Une idée extrêmement puissante est de relier à un taux de déformation
une contrainte par dualité énergétique. Plus précisément, soit
\(\tenseur{\varepsilon}\) un tenseur de déformation, sa contrainte
duale \(\tenseur{S}_{\varepsilon}\) sera telle que~:
\begin{equation}
  \label{eq:dualite}
  p_{v_{0}}=\tau\,\colon\,\tenseur{D}=\tenseur{S}_{\varepsilon}\,\colon\,\tenseur{\dot{\varepsilon}}
\end{equation}
où \(p_{v_{0}}\) est la densité de puissance mécanique dans la
configuration de référence.

Puisqu'il existe infinité de tenseur de déformation, il existe une
infinité de tenseur de contrainte. Par dualité, puisque tous les
tenseurs de déformation tendent vers la même limite pour des
transformations infinitésimales, tous ces tenseurs de déformations
tendront vers la même limite.

Nous verrons différentes applications de ce principe. Pour l'instant,
nous nous contentons de définir deux tenseurs de contrainte
classique~: les première et seconde contraintes de
\nom{Piola-Kirchhoff}.

\paragraph{Seconde contrainte de \nom{Piola-Kirchhoff}}
Si nous considérons le tenseur de \nom{Green}-\nom{Lagrange}, on
démontre à partir de la relation~\eqref{eq:D_C}, que son tenseur des
contraintes dual, appelé second tenseur de Piola-Kirchhoff et noté
\(\tenseur{S}\), est défini par~:
\begin{equation}
  \label{eq:S_Cauchy}
  \tenseur{S}=J\,\tns{F}^{-1}\,\sigma\,\tns{F}^{-T}
\end{equation}
Cette relation s'inverse en~:
\begin{equation}
  \label{eq:Cauchy_S}
  \tsigma=\Frac{1}{J}\,\tns{F}\,\tenseur{S}\,\transpose{\tns{F}}
\end{equation}

\paragraph{Première contrainte de \nom{Piola-Kirchhoff}} Même si
\(\tns{F}\) n'est pas un tenseur de déformation, il est possible de
définir par dualité un tenseur \(\tns{\Pi}\) {\em non symétrique},
nommé première contrainte de \nom{Piola-Kirchhoff}~:
\begin{equation}
  \label{eq:PK1}
  J\,\tsigma=\tns{\Pi}\,.\,\transpose{\tns{F}}
\end{equation}

Par définition, ce tenseur vérifie~:
\[
p_{v_{0}}=\tns{\Pi}\,\colon\,\tns{\dot{F}}
\]

La première contrainte de \nom{Piola-Kirchhoff} a deux propriétés intéressantes~:
\begin{itemize}
\item l'équation d'équilibre dans la configuration initiale s'écrit~:
  \begin{equation}
    \label{eq:PK1:equilibrium}
    \mathop{Div}\,\tns{\Pi}=0
  \end{equation}
où \(\mathop{Div}\) est la divergence dans la configuration initiale.
\item la première contrainte de \nom{Piola-Kirchhoff} permet d'obtenir
  les forces \(\dtot\,\vec{f}\) dans la configuration déformée pour un
  élément de surface \(\dtot\,\vec{S}\) dans la configuration
  initiale~:
  \begin{equation}
    \label{eq:PK1:BC}
    \dtot\,\vec{f}=\tns{\Pi}\,.\,\dtot\,\vec{S}
  \end{equation}
\end{itemize}

Si la relation~\eqref{eq:PK1:equilibrium} est assez sympathique (on
travaille sur une configuration initiale, qui est fixe et connue), la
relation~\eqref{eq:PK1:BC} montre que les conditions aux limites
vérifiées par \(\tns{\Pi}\) sont assez complexes puisque l'on doit
calculer les forces sur la déformation déformée~: la non linéarité
géométrique du problème est concentrée dans la détermination des
conditions aux limites.

L'utilisation de la première contrainte de \nom{Piola-Kirchhoff} (à la
place de la contrainte de \nom{Cauchy}) est en réalité
particulièrement intéressante pour les applications combustible \(1D\)
telles qu'\alcyone{} ou \germinal{} car les forces, dues aux pressions
appliquées sur le combustible et la gaine, restent de direction
constante. Les variations d'intensité dues aux variations de géométrie
peuvent être traitées de manière explicite, ce qui permet de supprimer
la non linéarité géométrique du problème.

\section{Lois en grandes transformations}

Une manière simplifiée de décrire une loi de comportement en grandes
transformations est de dire qu'il s'agit d'une boîte noire qui, en
chaque point d'intégration de la structure discrétisée et pour un
intervalle de temps \(\left[t:t+\Delta\,t\right]\) donné, prend en
entrée~:
\begin{enumerate}[-]
\item \(\bts{\tns{F}}\), le gradient de la transformation vers la
  configuration en début de pas~;
\item \(\ets{\tns{F}}\), le gradient de la transformation vers la
  configuration en fin de pas~;
\item la valeur des variables internes \(\bts{Y}\) en début de pas~;
\end{enumerate}
et qui fournit~:
\begin{enumerate}[-]
\item la valeur de la contrainte de \nom{Cauchy} \(\ets{\tsigma}\)
  définie en fin de pas sur la configuration en fin de pas~;
\item la valeur des variables internes \(\ets{Y}\) en fin de pas~;
\item une matrice tangente cohérente. Le problème est ici que la
  définition de l'opérateur tangent dépend du code considéré, et,
  parfois au sein d'un même code, du choix du formalisme utilisé pour
  traiter les grandes transformations\footnote{À titre d'exemple,
    \zebulon{} propose trois formalismes
    différents~\cite{han_implantation_2010}.}. Dans \mfront{},
  l'utilisateur peut donner, parmi un nombre fini de possibilité, un
  ou plusieurs opérateurs tangents. En général, il choisira
  l'opérateur \og{}~le plus naturel~\fg{} pour la loi considérée (voir
  ci-dessous). Nous effectuons alors un ensemble de conversions pour
  calculer l'opérateur tangent effectivement attendu par le code.
\end{enumerate}

Certaines formulations hypoélastiques, définies plus loin, des grandes
transformations se basent sur la donnée en entrée de la contrainte de
\nom{Cauchy} \(\bts{\tsigma}\) en début de pas sur la configuration de
début de pas. Cette information est fournie par \mfront{}, mais nous
déconseillons son emploi.

\paragraph{Hyperélasticité} La notion d'hyperélasticité généralise la
notion classique d'élasticité. Plus précisément, une loi
hyperélastique est une loi reliant une mesure de déformation à son
tenseur dual par la définition d'une densité d'énergie \(\Psi\)~:
\[
\tenseur{S}_{\varepsilon}=\deriv{\Psi}{\tenseur{\varepsilon}}
\]

Une propriété essentielle des lois hyperélastiques est la dissipation
mécanique est nulle pour tout trajet fermé dans l'espace des
déformations.

Une autre propriété intéressante en pratique est qu'on peut montrer
que l'opérateur tangent cohérent est symétrique.

\subsection{Approches lagrangiennes}

Au vu de ce qui précède, les approches lagrangiennes sont les plus
simples d'emploi~:
\begin{itemize}
\item on se donne une mesure des déformations~: soit \(\tenseur{U}\),
  soit \(\tenseur{C}\), soit un des tenseurs de déformation construits
  sur \(\tenseur{U}\). Ce choix définit un tenseur des contraintes par
  dualité, par l'équation~\eqref{eq:dualite}. Un point important est
  que ces différents tenseurs sont tous définis dans la configuration
  initiale.
\item on construit alors la loi de comportement en reliant la mesure
  des déformations à sa contrainte duale. On utilisera de préférence
  une approche basée sur la thermodynamique, ce qui est possible par
  la définition énergétique de la contrainte duale.
\end{itemize}

\paragraph{Calcul de la contrainte de \nom{Cauchy}} La dernière étape
de la loi de comportement consiste à calculer la contrainte de
\nom{Cauchy}. Supposons avoir choisi un tenseur des déformations
\(\tenseur{\varepsilon}\) fonction explicite de \(\tenseur{C}\) et
soit \(\tenseur{S}_{\varepsilon}\) sa contrainte duale, nous avons~:
\[
  \Frac{1}{2}\tenseur{S}\,\colon\,\tenseur{\dot{C}}=\tenseur{S}_{\varepsilon}\,\colon\,\tenseur{\dot{\varepsilon}}=\tenseur{S}_{\varepsilon}\,\colon\,\deriv{\tenseur{\varepsilon}}{\tenseur{C}}\,\colon\,\tenseur{\dot{C}}
\]
Cette relation étant valide pour tous les valeurs de
\(\tenseur{\dot{C}}\), on en déduit~:
\[
\tenseur{S}=2\,\tenseur{S}_{\varepsilon}\,\colon\,\deriv{\tenseur{\varepsilon}}{\tenseur{C}}
\]

La relation~\eqref{eq:Cauchy_S} permet alors de calculer la contrainte
de \nom{Cauchy}.

\paragraph{Opérateur tangent} L'opérateur tangent naturel est la
dérivée de la contrainte duale en fin de pas par rapport à l'incrément
du tenseur de déformation choisi.

\subsubsection{Lois lagrangiennes hyperélastiques}
\label{sec:loi-hyper-de-1}

Toute généralisation de la loi de \nom{Hooke} de la forme~:
\[
\tenseur{S}_{\varepsilon}=\tenseurq{D}\,\colon\,\tenseur{\varepsilon}
\]
où \(\tenseur{\varepsilon}\) est un tenseur de déformation lagrangien,
\(\tenseur{S}_{\varepsilon}\) son tenseur dual et \(\tenseurq{D}\) un tenseur
d'élasticité possédant les bonnes propriétés\footnote{On se rappellera
  par exemple que, dans le cas isotrope, le coefficient de
  \nom{Poisson} ne peut pas prendre n'importe quelle valeur.},
conduira à une loi hyperélastique.

Dans ce l'opérateur tangent naturel est évidemment \(\tenseurq{D}\).

\paragraph{Loi hyperélastique de \nom{Saint-Venant Kirchhoff}}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \scalebox{0.9}{
    \begin{minipage}[htbp]{1.0\linewidth}
      \setlength{\columnseprule}{0.4pt}
      \begin{multicols}{2}
        {\footnotesize \input{@top_srcdir@/docs/mfront/mfront/SaintVenantKirchhoffElasticity.tex}}
      \end{multicols}
    \end{minipage}
  }
  \caption{Implantation de la loi hyperélastique de \nom{Saint-Venant
      Kirchhoff}.}
  \label{fig:finitestrain:saintvenantkirchhoff}
\end{figure}

La loi de \nom{Saint-Venant Kirchhoff} est la loi hyperélastique la
plus classique. Elle généralise la loi de \nom{Hooke} isotrope en
reliant le tenseur de \nom{Green-Lagrange} au second tenseur de
\nom{Piola-Kirchhoff} \(\tenseur{S}\)~:
\[
\tenseur{S}=\lambda\,\trace{\egl}\,\tenseur{I}+2\,\mu\egl
\]
où \(\lambda\) et \(\mu\) sont les premier et second coefficients de
\nom{Lame}.

L'implantation de cette loi en \mfront{} est donnée en
figure~\ref{fig:finitestrain:saintvenantkirchhoff}. Nous avons montré
comment il était possible de définir l'opérateur tangent de deux
manières différentes. La première, la plus simple, est donnée par la
dérivée de la seconde contrainte de \nom{Piola-Kirchhoff} par rapport
à l'incrément du tenseur de \nom{Green-Lagrange}. La seconde est
directement l'opérateur tangent attendu par \aster{}.

\subsubsection{Grandes rotations, petites déformations}
\label{sec:grand-rotat-petit}

Ce paragraphe s'inspire de la formulation éponyme
d'\aster{}~\cite{proix_loi_2013}. L'interprétation physique du
formalisme est également décrit par
Doghri~\cite{doghri_mechanics_2000}.

Il s'agit d'un moyen de réutiliser, sans ré-identification, des lois
de comportement écrites pour décrire des transformations
infinitésimales dans le cas où les rotations du matériau peuvent être
extrêmement importantes.

Les déformations de \nom{Green-Lagrange} en début et fin de pas de temps
sont calculées ainsi~:
\[
\begin{aligned}
  \bts{\egl} &= \Frac{1}{2}\left(\bts{\tenseur{C}}-\tenseur{I}\right)\\
  \ets{\egl} &= \Frac{1}{2}\left(\ets{\tenseur{C}}-\tenseur{I}\right)\\
\end{aligned}
\]

\(\bts{\egl}\) et \(\ets{\egl}\) sont deux tenseurs lagrangiens (tous
deux relatifs à la configuration initiale) que l'on peut légitiment
soustraire pour calculer l'incrément de déformation totale
\(\Delta\,\egl\)~:
\[
\Delta\,\egl=\ets{\egl}-\bts{\egl}
\]

Cet incrément est envoyé à la loi de comportement qui retourne une
contrainte qui est interprétée, conformément à la relation de
dualité~\eqref{eq:dualite}, comme le second tenseur de
\nom{Piola-Kirchhoff}. Le tenseur de \nom{Cauchy} \(\tsigma\), utilisé
par \castem{} pour le calcul de l'équilibre, s'en déduit alors par la
relation~\eqref{eq:Cauchy_S}.

\paragraph{Interprétation physique} Dans le cas des petites
déformations, la décomposition polaire de \(\tns{F}\) montre que~:
\[
\tns{F}=\tns{R}\,.\tenseur{U}\approx\tns{R}
\]
\(J\), égal au déterminant de \(\tenseur{U}\) est également proche de
\(1\).

La relation~\eqref{eq:Cauchy_S} s'écrit alors~:
\begin{equation}
  \label{eq:finitestrain:sk2tochauchy:2}
  \tsigma = \Frac{1}{J}\tns{F}\,.\,\tsigma\,.\,\transpose{\tns{F}} \approx\tns{R}\,.\,\tsigma\,.\,\transpose{\tns{R}}
\end{equation}
Cette dernière relation montre qu'au premier ordre, les contraintes de
\nom{Cauchy} se déduisent du second tenseur de \nom{Piola-Kirchhoff}
par la rotation qu'a subit localement le matériau.

\paragraph{Changement de volume} Si les déformations sont petites, le
changement de volume est, au premier ordre, égal à la trace de
\(\egl\).

\paragraph{Cas de l'élasticité isotrope} Si la loi HPP est la loi de
\nom{Hooke} iostrope, l'utilisation de la stratégie \og~grandes
rotations, petites déformations\fg{}, permet de retrouver la loi de
\nom{Saint-Venant Kirchhoff} décrite au
paragraphe~\ref{sec:loi-hyper-de-1}.

\paragraph{Du choix particulier du tenseur de \nom{Green-Lagrange}} On
peut se poser la question du choix du tenseur de \nom{Green-Lagrange}
pour traiter le problème des grandes rotations~: tout autre tenseur
aurait pu faire l'affaire puisque tous les tenseurs lagrangiens
tendent vers la même limite aux petites déformations. En particulier,
nous pourrions utiliser directement les déformations logarithmiques
que nous avons présenté comme la meilleure approche disponible dans
l'introduction.

Il s'agit essentiellement d'une question d'efficacité numérique~: le
tenseur de \nom{Green-Lagrange} se calcule très facilement à partir de
\(\tns{F}\) et la relation entre le second tenseur
\nom{Piola-Kirchhoff} et le tenseur de \nom{Cauchy} est directe. Ce
n'est pas le cas des déformations logarithmiques qui nécessitent des
calculs importants en amont et en aval de la loi de comportement.

\paragraph{Utilisation via l'interface \umat{} de \mfront{}}
L'interface \umat{} de \mfront{} a été étendue. La directive {\tt
  @UMAT\-Finite\-Strain\-Strategy} permet de préciser une stratégie
d'adaptation d'une loi HPP en grandes transformations. La stratégie
{\tt Finite\-Rotation\-Small\-Strain} permet de sélectionner celle
présentée dans cette section.

\subsubsection{Les déformations logarithmiques}
\label{sec:deform-lagr-et}

Le formalisme des déformations logarithmiques, introduit par
Miehe~\cite{miehe_anisotropic_2002}, se base sur la déformation de
\nom{Hencky} et son tenseur dual, noté \(\tenseur{T}\).

L'idée de cette approche est qu'il est possible d'utiliser les
ingrédients classiques des lois écrites pour des transformations
infinitésimales~:
\begin{itemize}
\item décomposition additive la déformation totale en différentes
  contributions (élastique, plastique, thermique, gonflement,
  etc...)~;
\item décomposition des tenseurs en une partie sphérique, associée au
  changement de volume, et une partie déviatorique. Cette
  décomposition est possible par la propriété
  essentielle~\eqref{eq:J_Hencky} qui relie la trace des déformations
  logarithmiques au changement de volume~;
\item dérivation possible des modèles par une approche thermodynamique
  cohérente (mais ce point est commun à tous les formalismes
  lagrangiens grâce à l'utilisation de la notion de tenseur dual).
\end{itemize}

Dit d'une autre manière, il suffit d'appeler n'importe quelle loi
écrite dans le formalisme des petites transformations avec un
pré-traitement (le calcul de la déformation logarithmique de
\nom{Hencky}) et un post-traitement (le calcul de la contrainte de
\nom{Cauchy} à partir de \tenseur{T}) appropriés, pour obtenir une loi
valides en grandes transformations.

Bien entendu, il s'agit d'une réutilisation {\em formelle}~: une loi
particulière identifiée dans le contexte des petites transformations
ne devient pas miraculeusement capables de décrire de très grandes
déformations.

Il s'agit néanmoins d'un avantage considérable~: l'écriture de lois de
comportement capables de décrire de très grandes déformations dans un
cadre théorique solide devient accessible aux ingénieurs puisque
ceux-ci n'ont pas à apprendre de formalisme nouveau. Tous les concepts
qui leurs sont devenus classiques (écrouissages, endommagement,
etc...)  sont utilisables tels quels.

\paragraph{Autres avantages} Ce formalisme a d'autres avantages, en
particulier si on le compare à d'autres approches qui visent les mêmes
objectifs~:
\begin{itemize}
\item il n'y a aucune restriction sur la loi de comportement. On peut
  traiter les dilatations libres (gonflement et/ou dilatation
  thermique), l'orthotropie initiale ou induite du matériau
\end{itemize}


\paragraph{Utilisation via l'interface \umat{} de \mfront{}}

Dans la directive {\tt @UMAT\-Finite\-Strain\-Strategy}, le mot clé
{\tt Miehe\-Apel\-Lambrecht\-Logarithmic\-Strain} permet de
sélectionner la stratégie présentée dans cette section.

\paragraph{Traitement des dilatations thermiques} À faire.


% \subsection{Loi plastique de
%   \nom{Simo-Miehe}~\cite{simo_associative_1992}}
% \label{sec:loi-plastique-de}

% \begin{figure}[htbp]
%   \centering
%   \scalebox{0.9}{
%     \begin{minipage}[htbp]{1.0\linewidth}
%       \setlength{\columnseprule}{0.4pt}
%       \begin{multicols}{2}
%         {\footnotesize \input{@top_srcdir@/docs/mfront/mfront/ImplicitSimoMieheElastoPlasticity.tex}}
%       \end{multicols}
%     \end{minipage}
%   }
%   \caption{Implantation de la loi de plasticité de \nom{Simo-Miehe}.}
%   \label{fig:finitestrain:simo-miehe}
% \end{figure}

% \subsubsection{Cas tests}

% Trois cas tests ont été introduits dans \TFEL{}. Il reprennent tous
% une loi plastique avec écrouissage isotrope linéaire et sont issus de
% la base des cas tests
% \aster{}~\cite{bargellini_hsnv121_2009,proix_ssna303_2011}.

% Un cas test de traction uniaxiale, décrit dans la
% référence~\cite{bargellini_hsnv121_2009}, est réalisé à l'aide de
% l'outil \mtest{}. Le fichier associé se trouve dans~:
% \begin{center}
%   {\tt mfront/tests/behaviours/castem/castemimplicitsimomieheelastoplasticity.mtest}
% \end{center}
% Les résultats sont comparés à ceux d'\aster{} et à une résolution
% semi-analytique.

% Ce cas test est reproduit à l'identique dans \castem{}. Le fichier
% associé est~:
% \begin{center}
%   {\tt\small mfront/tests/behaviours/castem/ImplicitSimoMieheElastoPlasticityUniaxialTesting.dgibi}
% \end{center}

% \begin{figure}[htbp]
%   \centering
%   \includegraphics[height=0.9\linewidth,angle=-90]{@top_srcdir@/docs/mfront/Images/ImplicitSimoMieheElastoPlasticity-ssna303.eps}
%   \caption{Essai de traction sur une éprouvette entaillée
%     élastoplastique en grandes déformations avec la loi plastique de
%     \nom{Simo} et \nom{Miehe}~: représentation des géométries initiale
%     et déformée (en rouge).}
%   \label{fig:finitestrain:ssna303}
% \end{figure}

% Le dernier cas test, lui aussi repris de la base de cas tests
% d'\aster{}, décrit une éprouvette entaillée en \(2D\paren{r,z}\) en
% traction~\cite{proix_ssna303_2011}. La longueur de l'éprouvette varie
% de \(20\,\%\)~: on impose un déplacement de \(6\,mm\) pour une
% longueur initiale de \(30\,mm\). Localement, l'entaille conduit à des
% niveaux de déformation beaucoup plus élevé, de l'ordre de
% \(70\,\%\). La figure~\ref{fig:finitestrain:ssna303} représente les
% géométries initiales et déformée de l'éprouvette. À la fin du
% chargement, la variation de volume est très faible, de l'ordre de
% \(0,6\,\%\), et est imputable aux déformations élastiques du
% matériau~: l'hypothèse d'incompréhensibilité de l'écoulement plastique
% est donc bien vérifiée. On compare la réduction de la section de
% l'éprouvette au niveau de l'entaille et la force imposée en fin de
% chargement à la solution \aster{}, prise comme référence~: l'écart est
% de l'ordre du pourcent.

\section{La décomposition FeFp}

Une grande partie de la littérature sur l'élastoplasticité en grandes
transformations a été consacrée à ce que l'on appelle la décomposition
\(\tns{F}_{e}\,.\,\tns{F}_{p}\)~\cite{lee69:_elast_defor_finit_strain,mandel73:_equat_const_direc_milieux_plast_viscop}.

La décomposition \(\tns{F}_{e}\,.\,\tns{F}_{p}\) est essentiellement
une hypothèse cinématique. Nous commencerons par décrire cette
cinématique, puis nous introduirons un nouveau tenseur, le tenseur de
\nom{Mandel}, par dualité énergétique, ce qui nous permettra de
d'introduire des premières notions de thermodynamique. Enfin, nous
décrirons le cadre, actuellement standard, permettant de décrire les
lois de plasticité en grandes transformations.

\subsection{Aspects cinématiques}

Il s'agit de postuler l'existence d'une configuration intermédiaire
\(\tns{F}_{p}\), résultant de l'écoulement plastique. Cette
configuration définie une configuration du matériau \og{}~au
repos~\fg{} après déformation, c'est à dire à contrainte nulle. Cette
configuration permet de définir la transformation élastique
\(\tns{F}_{e}\) qui permet au matériau d'accommoder le gradient de
déformation total~:
\begin{equation}
  \label{eq:FeFp}
  \tns{F} = \tns{F}_{e}\,.\,\tns{F}_{p}
\end{equation}

Notons que

Compte tenu de la décomposition multiplicative~\eqref{eq:FeFp} du
gradient de transformation, le gradient du vecteur vitesse \(\tns{L}\)
s'exprime, défini par l'équation~\eqref{eq:L}, s'écrit~:
\begin{equation}
  \label{eq:LeLp}
  \tns{L} = \tns{\dot{F}}\,.\,\inv{\tns{F}} =
  \tns{\dot{F}}_{e}\,.\,\inv{\tns{F}_{e}} +  \tns{F}_{e}\,.\,\tns{\dot{F}}_{p}\,.\,\inv{\tns{F}_{p}}\,.\,\inv{\tns{F}_{e}} =
  \tns{L}_e + \tns{F}_{e}\,.\,\tns{L}_{p}\,.\,\inv{\tns{F}_{e}}
\end{equation}
avec \(\tns{L}_e=\tns{\dot{F}}_{e}\,.\,\inv{\tns{F}_{e}}\) et \(\tns{L}^p=\tns{\dot{F}}_{p}\,.\,\inv{\tns{F}_{p}}\).

\subsection{Le tenseur de \nom{Mandel}}

Nous avons déjà rencontré différents tenseurs des contraintes dont
l'utilisation va s'avérer utile~:
\begin{enumerate}
\item le tenseur des contraintes de \nom{Cauchy} \(\tsigma\), défini dans la
  configuration actuelle, symétrique ;
\item le second tenseur de Piola-Kirchhoff \(\tns{S}_e\), défini dans
  la configuration intermédiaire, symétrique~:
\begin{equation}
\tns{S}_e=J_E \inv{\tns{F}_{e}}\,.\,\tsigma\,.\,\invT{\tns{F}_{e}} \rm{, avec} \ J_E = \det{\tns{F}_{e}}=\Frac{\rho_i}{\rho}
\end{equation}
où \(\rho\) la masse volumique du matériau dans la configuration
actuelle et \(\rho_i\) la masse volumique dans la configuration
intermédiaire.
\end{enumerate}

Nous allons utiliser la décomposition~\eqref{eq:LeLp} pour introduire
un nouveau tenseur de contraintes, par dualité.

La puissance des efforts intérieurs est~:
\begin{eqnarray}
\Frac{1}{\rho} \tsigma\,\colon\, \tns{D} &=&
\Frac 1 \rho \tsigma\,\colon\, \tns{L} = \Frac 1 \rho \tsigma\,\colon\, \tns{\dot{F}} \inv{\tns{F}} \label{eq:power_internal_forces_0} \\
&=& \Frac 1 \rho \tsigma\,\colon\, (\tns{\dot{F}}_{e} \inv{\tns{F}_{e}}+\tns{F}_{e} \tns{\dot{F}}_{p} \inv{\tns{F}_{p}} \inv{\tns{F}_{e}}) \\
&=& \Frac 1 \rho \tsigma\,\colon\, (\tns{\dot{F}}_{e} \inv{\tns{F}_{e}}) + \Frac 1 \rho \tsigma\,\colon\, (\tns{F}_{e} \tns{\dot{F}}_{p} \inv{\tns{F}_{p}} \inv{\tns{F}_{e}}) \label{eq:power_internal_forces_1}
\end{eqnarray}
Dans l'équation~\eqref{eq:power_internal_forces_0}, comme \(\tsigma\) est
un tenseur symétrique, on peut donc remplacer \(\tns{D}\) par \(\tns{L}\).
Dans l'équation~\eqref{eq:power_internal_forces_1}, tenant compte de la
relation entre le second tenseur de Piola-Kirchhoff \(\tns{S}_e\) et le
tenseur de \nom{Cauchy} \(\tsigma\), on a~:
\begin{eqnarray*}
\Frac{1}{\rho} \tsigma\,\colon\, \tns{D} &=& \Frac{1}{\rho_i} (\tns{F}_{e} \tns{S}_e \transpose{\tns{F}_{e}})\,\colon\, (\tns{\dot{F}}_{e} \inv{\tns{F}_{e}}) + \Frac {1}{\rho_i} (\tns{F}_{e} \tns{S}_e \transpose{\tns{F}_{e}})\,\colon\, (\tns{F}_{e} \tns{\dot{F}}_{p} \inv{\tns{F}_{p}} \inv{\tns{F}_{e}}) \\
                                    &=& \frac{1}{\rho_i} \paren{F_{e}}_{ik} \paren{S_{e}}_{kl} \paren{\transpose{F}_{e}}_{lj} \paren{\dot{F}_{e}}_{im} \paren{\inv{F}_{e}}_{mj}+ \\
                                    && \frac{1}{\rho_i} \paren{F_{e}}_{ik} \paren{S_{e}}_{kl} \paren{\transpose{F}_{e}}_{lj} \paren{F_{e}}_{im} \paren{\dot{F}_{p}}_{mn} \paren{\inv{F}_{p}}_{np} \paren{\inv{F}_{e}}_{pj} \\
                                    &=& \frac{1}{\rho_i} \paren{S_{e}}_{kl} \paren{\transpose{F}_{e}}_{ki} \paren{\dot{F}_{e}}_{im} \paren{\inv{F}_{e}}_{mj} \paren{F_{e}}_{jl} +\\
                                    && \frac{1}{\rho_i} \paren{\transpose{F}_{e}}_{mi} \paren{F_{e}}_{ik} \paren{S_{e}}_{kl} \paren{\transpose{F}_{e}}_{lj} \paren{F_{e}}_{jp}^{-T} \paren{\dot{F}_{p}}_{mn} \paren{\inv{F}_{p}}_{np} \\
                                    &=& \frac{1}{\rho_i} \paren{S_{e}}_{kl} \paren{\transpose{F}_{e}}_{ki} \paren{\dot{F}_{e}}_{il} + \frac{1}{\rho_i} \paren{\transpose{F}_{e}}_{mi} \paren{F_{e}}_{ik} \paren{S_{e}}_{kp} \paren{\dot{F}_{p}}_{mn} \paren{\inv{F}_{p}}_{np} \\
&=& \Frac{1}{\rho_i} \tns{S}_e\,\colon\, (\transpose{\tns{F}_{e}} \tns{\dot{F}}_{e}) + \Frac{1}{\rho_i} (\transpose{\tns{F}_{e}} \tns{F}_{e} \tns{S}_e)\,\colon\, (\tns{\dot{F}}_{p} \inv{\tns{F}_{p}})
\end{eqnarray*}

Comme le second tenseur de Piola-Kirchhoff est symétrique, on a~:
\begin{eqnarray}
  \Frac{1}{\rho} \tsigma\,\colon\, \tns{D} &=& \Frac{1}{\rho_i} \tns{S}_e\,\colon\, \Frac 1 2 \left( \transpose{\tns{F}_{e}} \tns{\dot{F}}_{e} + \transpose{\tns{\dot{F}}_{e}} \tns{F}_{e}\right)+ \Frac{1}{\rho_i} (\transpose{\tns{F}_{e}} \tns{F}_{e} \tns{S}_e)\,\colon\, (\tns{\dot{F}}_{p} \inv{\tns{F}_{p}}) \\
  &=& \Frac{1}{\rho_i} \tns{S}_e\,\colon\, \degle{}+ \Frac{1}{\rho_i} \tns{M}\,\colon\, (\tns{\dot{F}}_{p} \inv{\tns{F}_{p}})
  =  \Frac{1}{\rho_i} \tns{S}_e\,\colon\, \degle{}+ \Frac{1}{\rho_i} \tns{M}\,\colon\, \tns{L}_{p} \label{eq:power_internal_forces}
 \label{eq:power_internal_forces}
\end{eqnarray}
où nous avons introduit le tenseur des contraintes de \nom{Mandel},
noté \(\tns{M}\), non symétrique, et définit par~:
\begin{equation}
  \label{eq:M}
  \tns{M} = J_E \transpose{\tns{F}_{e}}\,.\,\tsigma\,.\,\invT{\tns{F}_{e}} = \transpose{\tns{F}_{e}}\,.\,\tns{F}_{e}\,.\,\tenseur{S}^{e}= \tenseur{C}_e\,.\,\tenseur{S}^{e}
\end{equation}
avec \(\tenseur{C}_e\) le tenseur des dilatations élastiques
\nom{Cauchy-Green} droit.

\subsection{Thermodynamique}

Le deuxième principe de la thermodynamique dans sa forme locale, connu
sous le nom d'inégalité de \nom{Clausius-Duhem} s'écrit~:
\begin{equation}
  \label{eq:Clausius-Duhem}
-\rho (\dot e - T \dot s) + \tsigma\,\colon\, \tns{D} - \Frac{\vec{q}}{T} \cdot \grad T \geqslant 0
\end{equation}
avec \(\rho\) la masse volumique dans la configuration actuelle, \(e\) la
densité d'énergie interne, \(T\) la température, \(s\) la densité
d'entropie, et \(\vec{q}\) le flux de chaleur.

Pour un matériau sans écrouissage, la densité d'énergie interne \(e\)
est une fonction de la déformation élastique de Green-Lagrange
\(\egle{}\) et de la densité d'entropie \(s\)~:
\begin{equation}
e=e \left( \egle{},s \right)
\end{equation}
la densité d'énergie libre \(\psi\) est une fonction de \(\egle\) et de la température \(T\)~:
\begin{equation}
\psi=\psi \left( \egle{},T \right)
\end{equation}
On sait que la relation entre la densité d'énergie libre \(\psi\) et
la densité d'énergie interne \(e\) s'écrit~:
\begin{equation} \label{eq:internal_and_free_E}
\psi=e-Ts
\end{equation}

Compte tenu des équations~\eqref{eq:power_internal_forces} et
\eqref{eq:internal_and_free_E}, l'inégalité de Clausisu-Duhem devient~:
\begin{equation}
  \label{eq:Clausius-Duhem_crystal}
  \rho \left(  \Frac{\tns{S}_e}{\rho_i} - \Frac{\partial \psi}{\partial \egle{}} \right)\,\colon\, \dot\egle - \rho \left( s + \Frac{\partial \psi}{\partial T}\right) \dot T +\Frac{\rho}{\rho_i} \tns{M}\,\colon\, \tns{L}_{p} - \Frac{\vec{q}}{T} \cdot \grad T \geqslant 0
\end{equation}
où on a la dissipation thermique \(D^{t\!h}\)~:
\begin{equation}
D^{t\!h} = - \Frac{\vec{q}}{T} \cdot \grad T
\end{equation}
et la dissipation intrinsèque \(D^i\):
\begin{equation}
D^i = \rho \left(  \Frac{\tns{S}_e}{\rho_i} - \Frac{\partial \psi}{\partial \egle{}} \right)\,\colon\, \dot\egle - \rho \left( s + \Frac{\partial \psi}{\partial T}\right) \dot T +\Frac{\rho}{\rho_i} \tns{M}\,\colon\, \tns{L}_{p}
\end{equation}

Considérons un processus réversible tel que \(\dot T = 0\),
\(\tns{\dot{F}}_{p} \inv{\tns{F}_{p}}=0\) et \(\grad T = 0\). Pour le
processus réversible, l'inégalité~\eqref{eq:Clausius-Duhem_crystal}
réduit à l'égalité, puisqu'il n'y a pas de dissipation. Par
conséquent, on obtient
\begin{equation}
\tns{S}_e = \rho_i \Frac{\partial \psi}{\partial \egle{}}
\end{equation}
De même, considérons un autre processus réversible tel que \(\dot\egle=0\),  \(\tns{\dot{F}}_{p} \inv{\tns{F}_{p}}=0\) et \(\grad T = 0\), on a
\begin{equation}
s=-\Frac{\partial \psi}{\partial T}
\end{equation}
Enfin, la dissipation intrinsèque se réduit à
\begin{equation} \label{eq:intrinsic_dissipation}
D^i = \Frac{\rho}{\rho_i} \tns{M}\,\colon\, \tns{L}_{p}
\end{equation}

\subsection{Application à la plasticité cristalline}

Pour la plasticité cristalline, \(\tns{L}_{p}\) peut être déterminé sur
les \(N_{g}\) systèmes de glissement par~:
\begin{equation}
  \label{eq:PP}
  \tns{L}_{p} = \sum \limits_{s=1}^{N_{g}} \dot{\gamma}^s \tns{N}^s
\end{equation}
avec le tenseur d'orientation \(\tns{N}^s\) pour le système de
glissement \(s\) et le taux de glissement \(\dot{\gamma}^s\) pour le
système de glissement \(s\).

Selon les équations~\eqref{eq:power_internal_forces} et
\eqref{eq:intrinsic_dissipation}, le second tenseur de Piola-Kirchhoff
\(\tns{S}_e\) est utilisé pour la loi d'élasticité et le tenseur de
\nom{Mandel} \(\tns{M}\) pour la loi d'écoulement. Vu que la dissipation
décrite par \(\tns{M}\,\colon\,\tns{L}_{p}\) est liée au glissement des
dislocations dans le monocristal, on a~:
\begin{equation}
  \label{eq:plastic_power_1}
  \tns{M}\,\colon\,\tns{L}_{p} = \sum_{s=1}^{N_{g}} \dot \gamma^s \tau^s
\end{equation}
où \(\tau^s\) est la cission résolue du système de glissement
\(s\). Compte tenu l'équation~\eqref{eq:PP}, on a~:
\begin{equation}
  \label{eq:plastic_power_2}
  \tns{M}\,\colon\,\tns{L}_{p} = \tns{M} : \left(\sum_{s=1}^{N_{g}} \dot \gamma^s \tns{N}^s \right) = \sum_{s=1}^{N_{g}} \dot \gamma^s \tns{M} : \tns{N}^s
\end{equation}
Si on compare l'équation~\eqref{eq:plastic_power_1} et
l'équation~\eqref{eq:plastic_power_2}, la cission résolue \(\tau^s\)
du système de glissement \(s\) s'écrit donc :
\begin{equation}
\tau^s = \tns{M} : \tns{N}^s
\end{equation}

Les différentes lois de plasticité cristalline se différencient par la
relation entre la cission résolue \(\tau^s\) et la vitesse de
glissement \(\gamma^s\).


\clearpage
\newpage
\referencecea
\listetableaux
\listefigures

\appendix
\section{Description de la dilatation thermique des corps}
\label{sec:description-de-la}

Expérimentalement, on mesure la variation de longueur d'un corps entre
une température de référence \(T_{\alpha}\) et une température finale
\(T\).

Si l'on note \(l_{T^{\alpha}}\) et \(l_{T}\) les longueurs respectives
du corps à ces deux températures, le coefficient de dilatation
thermique linéique \(\alpha\paren{T}\) est défini par~:
\begin{equation}
  \label{eq:umat:alpha}
  \Frac{l_{T}-l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{\alpha}}}=\alpha\paren{T}\,\paren{T-T^{\alpha}}
\end{equation}

\subsection{Cas des petites déformations}

Dans le cas des petites déformations, l'équation~\eqref{eq:umat:alpha}
définit une déformation associée à la dilatation thermique~:
\[
\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T}=\alpha\paren{T}\,\paren{T-T^{\alpha}}
\]

Cette déformation prend comme état de référence la longueur du corps à
la température \(l_{T^{\alpha}}\).

Lors d'un calcul thermo-mécanique, on suppose généralement que la
température initiale \(T_{i}\) est supposée être celle à laquelle la
géométrie est fournie.

Il est donc nécessaire de modifier la définition de la dilatation
thermique pour que l'état de référence soit la géométrie initiale, de
longueur \(l_{i}\).

Pour cela, nous pouvons définir la déformation thermique
\(\epsilonth_{T^{i}}\paren{T}\) du corps à la température \(T\) comme sa
déformation qu'il aurait si aucune contrainte ne s'exerçait sur lui
par la relation~:
\[
\epsilonth_{T^{i}}\paren{T}=\Frac{l_{T}-l_{T^{i}}}{l_{T^{i}}}
\]

En introduisant la longueur de référence \(l_{T^{\alpha}}\), nous
obtenons~:
\[
\begin{aligned}
  \epsilonth_{T^{i}}\paren{T}&=\Frac{l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{i}}}\,\Frac{l_{T}-l_{T^{i}}}{l_{T^{\alpha}}} = \Frac{1}{1+\Frac{l_{T^{i}}-l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{\alpha}}}}\,\left[\Frac{l_{T}-l_{T^{\alpha}}+l_{T^{\alpha}}-l_{T^{i}}}{l_{T^{\alpha}}}\right] \\
  &= \Frac{1}{1+\alpha\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}\,\left[\Frac{l_{T}-l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{\alpha}}}-\Frac{l_{T^{i}}-l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{\alpha}}}\right] \\
\end{aligned}
\]

Nous obtenons finalement la relation~:
\begin{equation}
  \label{eq:umat:epsilonth}
  \begin{aligned}
    \epsilonth_{T^{i}}\paren{T}&=
    \Frac{1}{1+\alpha\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}\,\left[\alpha\paren{T}\paren{T-T^{\alpha}}-\alpha\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}\right] \\
    &=
    \Frac{1}{1+\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T^{i}}}\,\left[\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T}-\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T^{i}}\right] \\
  \end{aligned}
\end{equation}

Dans les codes aux éléments finis \texttt{Code-Aster} et dans la
procédure {\tt PASAPAS} de \texttt{Cast3M}, la relation précédente
s'écrit de manière approchée, en négligeant le terme
\(\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T^{i}}\) par rapport à \(1\)~:
\[
\epsilonth_{T^{i}}\paren{T}=
\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T}-\epsilonth_{T^{\alpha}}\paren{T^{i}}
\]

\paragraph{Dilatation pure}

Dans le cas d'une dilatation pure, le gradient de la transformation
est uniforme et proportionnel à l'identité. Si l'on se restreint au
cas \(1D\), une dilatation pure s'écrit~:
\[
F=1+\eta
\]

La dilatation pure d'un barreau le fait passer d'une longueur
initiale \(l_{i}\) à une longueur finale \(l\) telle que~:
\[
l=\int_{0}^{l_{i}}F\paren{X}\,\dtot\,X=\paren{1+\eta}\,l_{i}
\]
ce qui permet d'identifier \(\eta\) à la variation relative du corps
entre son état initial et son état final~:
\[
\eta=\Frac{\Delta l}{l_{i}}
\]

Ainsi, la description de la dilatation thermique pure est très simple
en grandes transformations, tant que d'autres effets ne sont pas pris
en compte.

\paragraph{Traduction de la dilatation thermique en terme de gradient de la transformation}

Dans le cas des transformations finies, nous pouvons traduire la
dilatation thermique par un gradient de la transformation
\(F_{T^{\alpha}}^{\theta}\) ainsi~:
\begin{equation}
  \label{eq:umat:Fth:Ta}
  F_{T^{\alpha}}^{\theta}=1+\Frac{l_{T}-l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{\alpha}}}=1+\alpha\paren{T}\,\paren{T-T^{\alpha}}
\end{equation}

Dans le cas où la géométrie du corps est définie à la température
initiale \(T^{i}\), la formule~\eqref{eq:umat:epsilonth} peut
s'adapter en~:
\begin{equation}
  \label{eq:umat:Fth:Ti}
  F_{T^{i}}^{\theta}=1+\Frac{1}{1+\alpha\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}\,\left[\alpha\paren{T}\paren{T-T^{\alpha}}-\alpha\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}\right]
\end{equation}

\paragraph{Dilatation thermique orthotrope} Le cas orthotrope fait
apparaître trois directions particulières de l'espace \(\vec{n}_{0}\),
\(\vec{n}_{1}\), \(\vec{n}_{2}\). Notons \(\eta_{0}\), \(\eta_{1}\) et
\(\eta_{2}\) les dilatations thermiques dans chacune de ces trois
directions et données par~:
\[
\begin{aligned}
  \eta_{0}&=\Frac{1}{1+\alpha_{0}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}\,\left[\alpha_{0}\paren{T}\paren{T-T^{\alpha}}-\alpha_{0}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}\right]\\
  \eta_{1}&=\Frac{1}{1+\alpha_{1}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}\,\left[\alpha_{1}\paren{T}\paren{T-T^{\alpha}}-\alpha_{1}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}\right]\\
  \eta_{2}&=\Frac{1}{1+\alpha_{2}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}\,\left[\alpha_{2}\paren{T}\paren{T-T^{\alpha}}-\alpha_{2}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}\right]\\
\end{aligned}
\]

Nous pouvons donner une valeur intrinsèque au tenseur du gradient de
la transformation~:
\[
\tns{F}=\paren{1+\eta_{0}}\tenseur{I}+\paren{\eta_{1}-\eta_{0}}\,\vec{n}_{1}\otimes\vec{n}_{1}+\paren{\eta_{2}-\eta_{0}}\,\vec{n}_{2}\otimes\vec{n}_{2}
\]

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics[width=0.6\linewidth]{@top_srcdir@/docs/mfront/Images/FeFth.eps}
  \caption{Décomposition multiplicative du grandient de la
    transformation en une partie élastique et une partie thermique
    (d'après \nom{Lubarda}~\cite{lubarda_constitutive_2004}).}
  \label{fig:FeFth}
\end{figure}

\subsubsection{Décomposition multiplicative de la transformation dans
  le cas élastique}
\label{sec:decomp-mult-de}

Adoptons une décomposition multiplicative du gradient de la
transformation en une partie élastique et une partie
thermique~\cite{lubarda_constitutive_2004}~:
\begin{equation}
  \label{eq:umat:F:split}
  \tns{F}=\tns{F}^{e}\,\tns{F}_{T^{i}}^{\theta}
\end{equation}

Le tenseur de \nom{Cauchy} droit \(C\) s'écrit alors~:
\[
\tenseur{C} = \tns{F}^{T}\,\tns{F} = \left. \tns{F}_{T^{i}}^{\theta} \right.^{T}\,  \left. \tns{F}^{e} \right.^{T} \,\tns{F}^{e}\,\tns{F}_{T^{i}}^{\theta}
\]

\paragraph{Cas d'une dilatation thermique isotrope}
Dans le cas d'une dilatation thermique isotrope, \(\tns{F}^{e}\) et
\(\tns{F}_{T^{i}}^{\theta}\) commutent et l'on peut écrire~:
\begin{equation}
  \label{eq:umat:C:split}
  \tenseur{C} = \left. \tns{F}^{e} \right.^{T} \,\tns{F}^{e}\,\left. \tns{F}_{T^{i}}^{\theta} \right.^{T}\,\tns{F}_{T^{i}}^{\theta} =  \tenseur{C}^{m}\,\tenseur{C}_{T^{i}}^{\theta}=\paren{1+\eta}^{2}\,\tenseur{C}^{m}
\end{equation}

\subsubsection{Cas des déformations de \nom{Green-Lagrange} dans le
  cas isotrope} Dans le cas isotrope, suivant
Lubarda~\cite{lubarda_constitutive_2004}, il est possible de définir
trois déformations de \nom{Green-Lagrange}~:
\begin{enumerate}[-]
\item le tenseur des déformations totales
  \(\egl=\Frac{1}{2}\paren{\left. \tns{F} \right.^{T}
    \,\tns{F}-\tenseur{I}}\), mesure relative au référence
  initial~;
\item le tenseur des déformations élastiques
  \(\tepsilonel_{GL}=\Frac{1}{2}\paren{\left. \tns{F}^{e}
    \right.^{T} \,\tns{F}^{e}-\tenseur{I}}\), mesure relative au
  référence intermédiaire après dilatation thermique~;
\item le tenseur des déformations thermiques
  \(\tepsilonth_{GL}=\Frac{1}{2}\paren{\left. \tns{F}_{T^{i}}^{\theta}
    \right.^{T}\,\tns{F}_{T^{i}}^{\theta}-\tenseur{I}}\), mesure
  relative au référentiel initial.
\end{enumerate}

Le tenseur des déformations thermiques a l'expression suivante~:
\[
\tepsilonth_{GL}=\paren{\paren{1+\eta}^{2}-1}\tenseur{I}\
\]

L'équation~\eqref{eq:umat:C:split} permet de relier ces différents tenseurs~:
\[
\tepsilonel_{GL}=\Frac{1}{\paren{1+\eta}^{2}}\left[\egl-\tepsilonth_{GL}\right]
\]
Cette relation est l'équivalent de la partition des déformations des
petites déformations\footnote{La relation hyperélatique de
  \nom{Saint-Venant-Kirchhoff} peut être étendue en thermoélasticité
  ainsi~\cite{lubarda_constitutive_2004}~:
  \[
  \tenseur{S}=\Frac{1}{1+\eta}\left[\lambda\paren{T}\,\trace\paren{\egl}\tenseur{I}+2\,\mu\paren{T}\,\egl\right]-\Frac{1}{2}\paren{1+\eta-\Frac{3}{1+\eta}}\,K\paren{T}\,\tenseur{I}
    \]
    où \(\tenseur{S}\) est le second tenseur de \nom{Piola-Kirchhoff}
    dans la configuration initiale, \(\lambda\paren{T}\),
    \(\mu\paren{T}\) les premier et second coefficients de \nom{Lame},
    \(K\paren{T}\) le module de compressibilité.}.

\subsubsection{Application aux déformations logarithmiques dans le cas isotrope}

En prenant le logarithme de l'expression~\eqref{eq:umat:F:split} pour
définir la déformation de \nom{Henky} \(\tepsilonto_{\ln{}}\), nous
obtenons~:
\[
\tepsilonto_{\ln{}}=\Frac{1}{2}\ln{}\paren{\tenseur{C}}=\Frac{1}{2}\ln{}\paren{\tenseur{C}^{m}}+\Frac{1}{2}\ln{}\paren{\tenseur{C}_{T^{i}}^{\theta}}
\]
ce qui permet de retrouver la partition classique de la déformation~:
\[
\tepsilonto_{\ln{}}=\tenseur{\varepsilon}_{\ln{}}^{m}+\tenseur{\varepsilon}_{\ln{}}^{th}
\]
en définissant la déformation thermique par la relation~:
\[
\tenseur{\varepsilon}_{\ln{}}^{th}=\Frac{1}{2}\ln{}\paren{\tenseur{C}_{T^{i}}^{\theta}}
\]
\(\tns{F}_{T^{i}}^{\theta}\) étant proportionnel à l'identité, nous pouvons
également écrire que~:
\[
\tenseur{\varepsilon}_{\ln{}}^{th}=\ln{}\paren{\tns{F}_{T^{i}}^{\theta}}
\]
où \(\tns{F}_{T^{i}}^{\theta}\) se calcule par la formule~\eqref{eq:umat:F:split}.

Ainsi, les composantes diagonales (qui sont égales) du tenseur des
dilatation thermiques s'écrivent~:
\begin{equation}
  \label{eq:umat:eps_log_th}
  \varepsilon_{\ln{}}^{th}=\ln{}\paren{1+\Frac{\alpha\paren{T}\paren{T-T^{\alpha}}-\alpha\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}{1+\alpha\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}}
\end{equation}

Si la dilatation thermique est petite, un développement limité au
premier ordre permet de retrouver
l'expression~\eqref{eq:umat:epsilonth} de la dilatation thermique en
transformations infinitésimales.

\subsubsection{Application aux déformations logarithmiques dans le cas
  isotrope, en l'absence d'autres phénomènes}

Dans le cas anisotrope, \(F^{e}\) et \(F_{T^{i}}^{\theta}\) ne
commutent {\em a priori} plus.

Si aucun autre phénomène ne contribue à la déformation du corps, ou
que le corps est élastique et au repos, la
formule~\eqref{eq:umat:eps_log_th} s'étendre au cas anisotrope. Dans
le repère du matériau, le tenseur des déformations thermiques
logarithmiques s'écrit, en notation vectorielle~:
\[
\tenseur{\varepsilon}_{\ln{}}^{th}=
\begin{pmatrix}
  \ln{}\paren{1+\Frac{\alpha_{0}\paren{T}\paren{T-T^{\alpha}}-\alpha_{0}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}{1+\alpha_{0}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}} \\
  \ln{}\paren{1+\Frac{\alpha_{1}\paren{T}\paren{T-T^{\alpha}}-\alpha_{1}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}{1+\alpha_{1}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}} \\
  \ln{}\paren{1+\Frac{\alpha_{2}\paren{T}\paren{T-T^{\alpha}}-\alpha_{2}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}{1+\alpha_{2}\paren{T^{i}}\paren{T^{i}-T^{\alpha}}}} \\
  0 \\
  0 \\
  0 \\
\end{pmatrix}
\]

\newpage
\clearpage
\section{Autres représentations de la dilatation thermique}

\subsection{Coefficient de dilatation volumique}
\label{sec:coeff-de-dilat-vol}

La définition thermodynamique de la dilatation volumique est~:
\begin{equation}
  \label{eq:eq:umat:alphav}
  \alpha_{V}=\Frac{1}{V}\left(\deriv{V}{T}\right)_{p}=\left(\deriv{\ln{} V}{T}\right)_{p}
\end{equation}

Partant d'une température de référence \(T^{\alpha}\), le volume de la
structure sera à la température \(T\)~:
\[
\Frac{V_{T}}{V_{T^{\alpha}}}=\exp\paren{\int_{T^{\alpha}}^{T}\alpha_{V}\paren{u}\,\dtot\,u}
\]
et l'expression de la variation de volume
\(\pfrac{\Delta\,V}{V_{T^{\alpha}}}\)~:
\[
\Frac{\Delta\,V}{V_{T^{\alpha}}}=\exp\paren{\int_{T^{\alpha}}^{T}\alpha_{v}\paren{u}\,\dtot\,u}-1
\]

Le lien avec le coefficient de dilatation thermique linéique s'en
déduit~:
\[
\begin{aligned}
  \Frac{\Delta\,V}{V_{T^{\alpha}}}=\Frac{V_{T}}{V_{T^{\alpha}}}-1=\left(\Frac{l_{T}}{l_{T^{\alpha}}}\right)^{3}-1=\left(\Frac{l_{T}-l_{T^{\alpha}}}{l_{T^{\alpha}}}+1\right)^{3}-1=\left(\Frac{\Delta\,l}{l_{T^{\alpha}}}+1\right)^{3}-1
\end{aligned}
\]

Ceci nous permet de retrouver la définition~\eqref{eq:umat:alpha} du
coefficient de dilatation thermique \(\alpha\)~:
\[
\alpha\paren{T} = \Frac{1}{T-T^{\alpha}}\left[\exp\paren{\Frac{1}{3}\int_{T^{\alpha}}^{T}\alpha_{v}\paren{u}\,\dtot\,u}-1\right]
\]

\subsection{Coefficient de dilatation linéique \og~instantané\fg{}}

On rencontre souvent un coefficient de dilatation thermique linéique
dite instantané \(\alpha_{l}\)~:
\begin{equation}
  \label{eq:eq:umat:alphal}
  \alpha_{l}=\Frac{1}{l}\derivtot{l}{T}=\derivtot{\ln l}{T}
\end{equation}
Cette définition est proche de la définition du coefficient de
dilatation volumique~\eqref{eq:eq:umat:alphav}.

Le lien avec la définition~\eqref{eq:umat:alpha} du coefficient de
dilatation thermique moyen \(\alpha\) s'obtient de la même manière
qu'au paragraphe~\ref{sec:coeff-de-dilat-vol}~:
\[
\alpha\paren{T} = \Frac{1}{T-T^{\alpha}}\left[\exp\paren{\int_{T^{\alpha}}^{T}\alpha_{l}\paren{u}\,\dtot\,u}-1\right]
\]

% \newpage
% \clearpage
% \section{La décomposition multiplicative $F_{e}F_{p}$}

% \begin{equation}
%   \label{eq:finitestrain:FeFp}
%   \tns{F}=\tns{F}_{e}\tns{F}_{p}
% \end{equation}


% \paragraph{Critique}

% he most serious shortcoming of this scheme lies in the fact that the stress
% at a point in an elastic-plastic material can be reduced to zero without
% changing plastic strain only if the origin in stress space remains in the region
% enclosed by the yield surface. This implies a definite limitation on the
% usefulness of the above-mentioned definition: Indeed, except for special
% hardening rules (such as isotropic hardening), the yield surface may move
% about in stress space in a general manner as a consequence of deformation
% of the material.


% \cite{naghdi_critical_1990}
% \begin{quotation}
%   Before ending this subsection, it may be observed once more that the
%   notion of deformation gradient in the context of classical continuum
%   mechanics is a purely kinematical concept. It then seems that there
%   is no reason for expecting the same (or similar) structure as (2.2)
%   for plastic deformation (plastic strain), which is not entirely a
%   kinematical quantity; and, its identification, involves the notion
%   of unloading from an existing elastic-plastic state.  Indeed,
%   instead of introducing F, through~\eqref{eq:finitestrain:FeFp}, for
%   the present it appears to be preferable to introduce the notion of
%   plastic strain as a primitive variable represented by a symmetric
%   second order tensor such as \(\tenseur{\varepsilon}_{p}\). This will
%   avoid the restriction regarding~\eqref{eq:finitestrain:FeFp} noted
%   in the preceding paragraph and (at least for the present) allows a
%   more flexible setting for the identification of
%   \(\tenseur{\varepsilon}_{p}\), albeit a posteriori. In light of
%   these remarks and until further progress on the nature of its
%   identification, [...], we regard plastic strain as a primitive
%   variable represented by a second order tensor
%   \(\tenseur{\varepsilon}_{p}\) and defined by its rate through an
%   appropriate constitutive equation.
% \end{quotation}

% \newpage
% \clearpage
% \clearpage
% \newpage
% \section{Formulations hypoélastiques~: lagrangien réactualisé,
%   dérivées objectives et descriptions corotationnelles}

% Recent and current literature representing efforts of the majority of the
% various schools of plasticity are directed toward an Eulerian formulation of
% the theory constructed in a stress-space setting. The preference for the
% Eulerian formulation is evidently based on one or both of the following
% presuppositions: (i) the belief, founded perhaps in analogy with viscous fluid
% flow, that such formulations are more relevant to large elastic-plastic
% deformations; and (ii) the view that the construction of the theory in terms
% of the Cauchy stress and its rate is more fundamental. Most workers who
% share the preference for the Eulerian version of the theory, begin by
% considering the decomposition of the velocity gradient L or rate of the
% deformation tensor D into additive "elastic" and "'plastic" parts L, and L.
% or D, and D., respectively, so that 7
% L = L, + LP,
% D = D, + Dp.
% (4.23)
% Subsequently, they prescribe a constitutive equation for D. in terms of a rate
% of Cauchy stress; the rate operator here is not the usual material derivative
% but an objective rate such as the corotational (or Jaumann) rate' which
% renders the stress rate properly invariant under s.r.b.m. Thus, the constitutive
% equation for D. will have the form
% Dp x an objective rate of T,


% ....


% At best it seems that the decompositions (4.23)1,2 are a generaliza-
% tion of corresponding expressions in infinitesimal plasticity, since (to the
% order of approximation) in the linear theory the expression (4.23)2 would be
% identical to the rate of strain = rate of (elastic part + plastic part).

\section{Représentation vectorielle des tenseurs d'ordre $2$ non
  symétriques}
\label{sec:repr-vect-des}

Les tenseurs d'ordre \(2\) non symétriques, généralement décrit par
des matrices, sont représentés dans \TFEL{} par un vecteur dont les
composantes sont, en \(3D\)~:
\[
\tns{F}=
\begin{pmatrix}
  F_{00} \\ F_{11} \\ F_{22} \\ F_{01} \\ F_{10} \\ F_{02} \\ F_{20} \\ F_{12} \\ F_{21}
\end{pmatrix}
\]

Il est possible de vérifier que le produit scalaire des
représentations vectorielles de deux tenseurs est égal au produit
scalaire usuel sur les matrices~:
\[
\tns{F}.\tns{G}=\trace\paren{\transpose{\tns{F}}.\tns{G}}
\]

\section{Dérivation de la multiplication matricielle}

Les lois en grandes transformations introduisent une nouvelle
opération entre tenseurs~: la multiplication matricielle. Pour
simplifier, nous la noterons \(\star\) dans le cadre de cette annexe.

Soient deux tenseurs \(\tns{A}\paren{\tns{X}}\) et
\(\tns{B}\paren{\tns{X}}\) dépendant d'un troisième tenseur
\(\tns{X}\). L'objet de cet annexe est de calculer la dérivée
suivante~:
\begin{equation}
  \label{eq:mfront:finitestrain:dAB}
  \deriv{}{\tns{X}}\paren{\tns{A}\paren{\tns{X}}\,\star\,\tns{B}\paren{\tns{X}}}
\end{equation}

La multiplication matricielle étant bilinéaire, il existe deux
tenseurs d'ordre \(4\) linéaires tels que~:
\[
\begin{aligned}
  \deriv{}{\tns{A}}\paren{\tns{A}\,\star\,\tns{B}}&=\partial^{l}_{\star}\paren{\tns{B}}\\
  \deriv{}{\tns{B}}\paren{\tns{A}\,\star\,\tns{B}}&=\partial^{r}_{\star}\paren{\tns{A}}\\
\end{aligned}
\]

Ces tenseurs d'ordre $4$ permettent de développer la
dérivée~\eqref{eq:mfront:finitestrain:dAB} ainsi~:
\begin{equation}
  \label{eq:mfront:finitestrain:dAB-b}
  \deriv{}{\tns{X}}\paren{\tns{A}\paren{\tns{X}}\,\star\,\tns{B}\paren{\tns{X}}}=
  \partial^{l}_{\star}\paren{\tns{B}}\,\deriv{\tns{A}}{\tns{X}}+
  \partial^{r}_{\star}\paren{\tns{A}}\,\deriv{\tns{B}}{\tns{X}}
\end{equation}

Cette expression est extrêmement utile en pratique, car elle simplifie
les expressions de toutes les opérations de dérivation.

L'expression des tenseurs d'ordre \(4\) \(\partial^{l}_{\star}\paren{\tns{B}}\) et
\(\partial^{l}_{\star}\paren{\tns{A}}\) est assez complexe, d'autant plus que l'on
utilise dans \mfront{} la représentation vectorielle des tenseurs
décrite en annexe~\ref{sec:repr-vect-des}.

En utilisant cette représentation vectorielle, il est possible de
donner une représentation matricielle des tenseurs d'ordre $4$
\(\partial^{l}_{\star}\paren{\tns{B}}\) et  \(\partial^{l}_{\star}\paren{\tns{A}}\).

En \(3D\), \(\partial^{l}_{\star}\paren{\tns{B}}\)
s'exprime ainsi~:
\[
\begin{pmatrix}
  B_{ 0} & 0 & 0 & B_{ 4} & 0 & B_{ 6} & 0 & 0 & 0\\
  0 & B_{ 1} & 0 & 0 & B_{ 3} & 0 & 0 & B_{ 8} & 0\\
  0 & 0 & B_{ 2} & 0 & 0 & 0 & B_{ 5} & 0 & B_{ 7}\\
  B_{ 3} & 0 & 0 & B_{ 1} & 0 & B_{ 8} & 0 & 0 & 0\\
  0 & B_{ 4} & 0 & 0 & B_{ 0} & 0 & 0 & B_{ 6} & 0\\
  B_{ 5} & 0 & 0 & B_{ 7} & 0 & B_{ 2} & 0 & 0 & 0\\
  0 & 0 & B_{ 6} & 0 & 0 & 0 & B_{ 0} & 0 & B_{ 4}\\
  0 & B_{ 7} & 0 & 0 & B_{ 5} & 0 & 0 & B_{ 2} & 0\\
  0 & 0 & B_{ 8} & 0 & 0 & 0 & B_{ 3} & 0 & B_{ 1}
\end{pmatrix}
\]

On constate que cette expression est~:
\begin{enumerate}[-]
\item non triviale. Un opérateur, noté \(\underline{\otimes}\) permet
  d'en donner une écriture plus compacte~:
  \[
  \partial^{l}_{\star}\paren{\tns{B}}=\tns{I}\,\underline{\otimes}\,\transpose{\tenseur{B}}
  \]
  De manière similaire, l'opérateur
  \(\partial^{l}_{\star}\paren{\tns{A}}\) s'écrit~:
  \[
  \partial^{l}_{\star}\paren{\tns{A}}=\tns{A}\,\underline{\otimes}\,\tns{I}
  \]
  De manière générale, cette opérateur transforme deux tenseurs
  d'ordre \(2\) \(\tns{A}\) et \(\tns{B}\) en un tenseur d'ordre \(4\)
  \(\tnsq{C}\) tel que~:
  \[
  \tnsq{C}_{ijkl}=\tns{A}_{ik}\,\tns{B}_{jl}
  \]
  L'introduction de cet opérateur ne nous a pas semblé opportun.
\item creuse. Cette particularité sera utilisée pour optimiser le
  calcul de la dérivée par la
  formule~\eqref{eq:mfront:finitestrain:dAB-b} au
  paragraphe~\ref{sec:optimisation}.
\end{enumerate}

\paragraph{Calcul de la dérivée d'un produit matriciel}

La classe {\tt t2tot2}, qui représente les opérations linéaires entre
tenseurs d'ordre \(2\) non symétriques (elle représente donc des
tenseurs d'ordre \(4\)), fournit deux méthodes statiques nommées
respectivement {\tt tpld} (tensor product left derivative) et {\tt
  tprd} (tensor product right derivative) pour calculer les tenseurs
d'ordre \(4\) $\partial^{l}_{\star}(\tns{B})$ et
$\partial^{l}_{\star}(\tns{A})$.

\paragraph{Optimisation}
La formule~\eqref{eq:mfront:finitestrain:dAB-b} montre que les
tenseurs $\partial^{l}_{\star}(\tns{B})$ et
$\partial^{l}_{\star}(\tns{A})$ sont souvent amenés à être composés
avec d'autres tenseurs d'ordre \(4\). En \(3D\), cette composition est
équivalente au produit de deux matrices de taille \(9\,\times\,9\). Il
est intéressant de l'optimiser en tenant compte de la nature creuse de
$\partial^{l}_{\star}(\tns{B})$ et $\partial^{l}_{\star}(\tns{A})$.

La classe {\tt t2tot2} fournit donc également deux méthodes statiques,
également nomées {\tt tpld} et {\tt tprd}. La première prend en
argument le tenseur \(\tns{B}\) et le tenseur d'ordre \(4\)
\(\deriv{\tns{A}}{\tns{X}}\) et retourne un tenseur d'ordre \(4\) égal
à \(\partial^{l}_{\star}(\tns{B})\,\deriv{\tns{A}}{\tns{X}}\). La
seconde méthode réalise un travail symétrique.

La classe {\tt st2tot2}, qui représente les opérations linéaires
entre tenseurs d'ordre \(2\) symétriques (qui représente donc aussi
des tenseurs d'ordre \(4\)), fournit également quatre méthodes
statiques nommées respectivement {\tt tpld} (tensor product left
derivative) et {\tt tprd} (tensor product right derivative) dont le
rôle est similaire à celui des leurs homologues du cas non symétrique.

\end{document}

% \subsubsection{Cas tests}

% \(17\) tests unitaires, basés sur l'utilitaire
% \mtest{}~\cite{helfer_mtest_2014}, permettent de valider
% l'implantation de la loi de \nom{Saint-Venant Kirchhoff} par
% comparaison à des solutions analytiques. Il s'agit d'essais de
% traction uniaxiale suivant les différentes axes et d'essai de
% cisaillement relatifs aux différents directions possibles qui sont
% réalisés en \(1D\) (déformations planes généralisées axisymétriques),
% \(2D\) (déformations planes généralisées) ou \(3D\).

% Les fichiers associés se retrouvent dans les sources de \TFEL{} dans
% le répertoire~:
% \begin{center}
%   {\tt mfront/tests/behaviours/castem}
% \end{center}

% Il ont un nom de la forme~:
% \begin{center}
%   {\tt castemsaintvenantkirchhoffelasticity-X-Y-Z.mtest.in}
% \end{center}
% où~:
% \begin{minipage}[t]{0.9\linewidth}
%   \begin{itemize}
%   \item {\tt X} est le type de chargement (traction uniaxiale ou cisaillement)~;
%   \item {\tt Y} désigne l'axe de chargement~;
%   \item {\tt Z} la dimension de l'espace.
%   \end{itemize}
% \end{minipage}

% \subsection{Lois hyperléastiques néo-hookéene}
% \label{sec:loi-hyperl-neo}