tex/wxdkdraw/td-conclusions-de.tex

\subsection{Ganzzahlige Koordinatenwerte}
Für die Speicherung von Koordinaten werden ganzzahlige Werte verwendet.
Da für den Export und einige Berechnungen aber eine Wandlung in
Gleitkommazahlen erfolgen muss, können nur 32"=Bit"=Werte verwendet
werden, da diese verlustfrei zum Datentyp double konvertiert werden können.
Für 64"=Bit"=Werte ist dies nicht der Fall, da double"=Zahlen nur 51 Bits
für das Mantissenfeld verwenden, also 52 Bit darstellen können.

\subsection{Gitter und Auflösung}
\subsubsection{Anforderungen an die Auflösung}
\label{sec:aufloesung}
Die Auflösung (Anzahl der wxd"=Einheiten pro Zoll bzw. pro Zentimeter)
ist ein Kompromiss zwischen zwei verschiedenen Anforderungen:
\begin{itemize}
\item	Eine hohe Auflösung erlaubt feines Zeichnen.
\item	Da aber für Koordinaten nur ein Zahlenbereich
\(-2^{31}\ldots(2^{31}-1)\) zur Verfügung steht, erlaubt eine
niedrige Auflösung eine größere Ausdehnung der Zeichnung.
\end{itemize}
Das Zeichenprogramm soll sowohl Positionierung im metrischen System
(Zentimeter, Millimeter) als auch im Zollsystem ermöglichen.
Um das Gitter dynamisch an den Zoom"=Faktor anpassen zu können -- und dies
sowohl für cm"= als auch für Zoll"=Gitter und sowohl für Zehnerpotenz"=
als auch für Zweierpotenzteilung -- muss die Anzahl der wxd"=Einheiten
pro Zentimeter und pro Zoll durch mehrere Zehner"= und Zweierpotenzen
teilbar sein.

\subsubsection{Herleitung der Auflösung}
Um sowohl mit cm als auch mit Zoll arbeiten zu können, wird die
Basislänge \(b=\tfrac{1}{5}\,\text{mm}\) benutzt.
Bei dieser Basislänge handelt es
sich um den größten gemeinsamen Teiler von 1\,cm und 1\,Zoll.

Ein Zentimeter ergibt sich aus 50\,\(b\), ein Zoll aus 127\,\(b\).

Die Auflösung (wxdkdraw"=Einheiten pro Zoll) muss somit den Faktor
\begin{align*}
f_{\text{Zoll/cm}}=127
\end{align*}
enthalten, damit sich bei der Multiplikation mit
\(\tfrac{50}{127}\)
wieder ein ganzzahliger Wert für die Anzahl der wxdkdraw"=Einheiten
pro Zentimeter ergibt.

Bei einem Zoomfaktor von 1 (100\,\%) wird ein Zoll zur Bildung des
Magnetgitters wahlweise in
8 (\(2^3\)) oder 10 (\(2\cdot{}5\)) Schritte unterteilt.
Ein Zentimeter wird wahlweise in 4 (\(2^2\)) oder 5 (\(5^1\)) Schritte
unterteilt, um das Magnetgitter zu bilden.\\
Da nur eine der 4 Möglichkeiten eintreten kann, genügt es, das kleinste
gemeinsame Vielfache der vier Werte als Faktor in der Auflösung zu
verwenden:
\begin{align*}
f_{\text{Gitter,Zoll,8}}&=2^3\\
f_{\text{Gitter,Zoll,10}}&=2\cdot{}5\\
f_{\text{Gitter,cm,4}}&=2^2\\
f_{\text{Gitter,cm,5}}&=5\\
f_{\text{Gitter}}&=\text{kgV}(f_{\text{Gitter,Zoll,8}},f_{\text{Gitter,Zoll,10}},f_{\text{Gitter,cm,4}},f_{\text{Gitter,cm,5}})\\
&=2^3\cdot{}5
\end{align*}

Mit 14 Zoomstufen beim Hineinzoomen wird der Zoomfaktor von \(1\) bis
auf \(2^7=128\) erhöht. Das Magnetgitter folgt dem Zoom,
der Magnetgitterschritt
wird dabei um den Faktor \(\tfrac{1}{2^7}=\tfrac{1}{128}\) kleiner.
Damit sich auch dabei
noch eine ganze Zahl ergibt, muss unser Wert für die Auflösung den Faktor
\begin{align*}
f_{\text{Zoom,dual}}&=2^7
\end{align*}
enthalten.

Soll der Zoomfaktor dezimal auf \(100\) erhöht werden, wird der
Magnetgitterschritt durch 100 dividiert. Um dabei ein ganzzahliges
Ergebnis zu erzeugen, muss die Auflösung den Faktor
\begin{align*}
f_{\text{Zoom,dezimal}}&=2^2\cdot{}5^2
\end{align*}
enthalten.

Da entweder im Dualsystem oder im Zehnersystem gezoomt wird, ergibt sich
der für den Zoom erforderliche Faktor wiederum als kleinstes gemeinsames
Vielfaches der beiden vorangegangenen Werte zu
\begin{align*}
f_{\text{Zoom}}&=\text{kgV}(f_{\text{Zoom,dual}},f_{\text{Zoom,dezimal}})\\
&=2^7\cdot{}5^2
\end{align*}

Der Gesamtwert für die Auflösung ergibt sich zu
\begin{align*}
r&=f_{\text{Zoll/cm}}\cdot{}f_{\text{Gitter}}\cdot{}f_{\text{Zoom}}\\
&=2^{10}\cdot{}5^3\cdot{}127\\
&=16256000
\end{align*}
\clearpage
\textbf{Probe:}\\*
Die nachfolgende Tabelle zeigt, dass sich für alle Kombinationen aus
Gittereinstellung (Zoll oder Zentimeter), Gitterunterteilung (4 oder 5)
bei den maximalen Zoomfaktoren 128 und 100 noch ganzzahlige Werte für
den Magnetgitterabstand ergeben.\\*[1em]
\begin{tabular}{|ccccc|}
\hline
Gittereinstellung&Gitteraufteilung&Zoomfaktor&Magnetgitterabstand&Ergebnis\\
\hline
\hline
&&&&\\[-0.8em]
Zoll&4&128&\(\frac{16256000}{8\cdot{}128}\)&15875\\[0.4em]
Zoll&5&128&\(\frac{16256000}{10\cdot{}128}\)&12700\\[0.4em]
cm&4&128&\(\frac{6400000}{4\cdot{}128}\)&12500\\[0.4em]
cm&5&128&\(\frac{6400000}{5\cdot{}128}\)&10000\\[0.4em]
Zoll&4&100&\(\frac{16256000}{8\cdot{}100}\)&20320\\[0.4em]
Zoll&5&100&\(\frac{16256000}{10\cdot{}100}\)&16256\\[0.4em]
cm&4&100&\(\frac{6400000}{4\cdot{}100}\)&16000\\[0.4em]
cm&5&100&\(\frac{6400000}{5\cdot{}100}\)&12800\\[0.4em]
\hline
\end{tabular}~\\[1em]

Mit 32"=Bit"=Koordinaten kann die maximale Höhe und Breite einer
Zeichnung somit 6710\,mm bzw. 264\,Zoll betragen.
Werden nur positive Koordinaten benutzt, halbieren sich die Werte.
\clearpage
\subsection{Caching}
In wxdkdraw werden 3 verschiedene Caches (Bitmaps) benutzt:
\begin{itemize}
\item	Gitter\\
Die "`tiefstgelegenen"' Zeichenoperationen zeichnen den Grenzbereich in
hellblau, den Zeichnungshintergrund in hellgrau und das optische Gitter
in Form von horizontalen und vertikalen Linien.\\
Das Ergebnis dieser Zeichenoperationen wird in einem Bitmap zwischengespeichert.
Das Bitmap wird nur bei Bedarf neu erzeugt, z.\,B. beim Scrollen oder Zoomen.
\item	Zeichnung\\
Die "`mittleren"' Zeichenoperationen übertragen zunächst den Gitter"=Cache
und zeichnen darauf die Graphikelemente, evtl. mit Ausnahme gerade bearbeiteter
Elemente. Das Ergebnis dieser Operationen wird wiederum in einem Bitmap
zwischengespeichert.
\item	Markup\\
Die "`obersten"' Zeichenoperationen übertragen zunächst den Zeichnungs"=Cache
und zeichnen darüber das Markup, z.\,B. den wxdkdraw"=Cursor,
die Platzierungshilfe und gerade zu kopierende/verschiebende Graphikelemente
bzw. Markierungen für Kandidaten von Kopier"=/Verschiebe"=/Löschoperationen.
Auch das Ergebnis dieser Operationen wird in einem Bitmap zwischengespeichert.
\end{itemize}
Bei Änderungen an der Zeichnung wird vermerkt, bei welchem der drei Caches
ein Neuzeichnen erforderlich ist.
\clearpage
\subsection{Pfeilspitzen}
\figimage{ahcalc2}{Längenkorrektur für Pfeilspitzen}
In der Exportdatei soll eine qualitativ hochwertige Ausgabe erzeugt werden.
Hierbei sollen die Pfeilspitzen exakt am angegebenen Endpunkt einer Linie
enden.\\
An gekrümmten Linien (Kreisbögen und X"=Splines) sollen die Pfeilspitzen der Krümmung folgen.

Dies ist insbesondere für X"=Splines mit aufwendigen Berechnungen verbunden,
bei denen Näherungsverfahren eingesetzt werden müssen. Dies ist für das
Export"=Programm wxd2lat akzeptabel, für das interaktive Zeichenprogramm
wxdkdraw aber nicht, denn hier würden diese Berechnungen zu Stockungen beim
Scrollen und beim Bewegen von Linien führen. Im Zeichenprogramm wird daher
nur eine Näherung der Pfeilspitze dargestellt.
\clearpage

\subsubsection{Notwendigkeit der Längenkorrektur}
Abb.~\vref{fig:ahcalc2} zeigt eine von links kommende Linie, die in Punkt
\(P_0\) endet. An diese Linie wird eine Pfeilspitze angefügt, die als
Polylinie \(P_1\)\ldots\(P_0\)\ldots\(P_2\) gezeichnet wird.
Zum Zeichnen der Pfeilspitze wird dieselbe Linienbreite \(l\) verwendet
wie für die eigentliche Linie.
Wie man sieht, endet die Pfeilspitze im Punkt \(P_E\), der um die
Länge \(s\) von \(P_0\) entfernt ist.\\
Der in der WXD"=Datei angegebene Endpunkt ist der Punkt \(P_E\). Die
eigentliche Linie muss also leicht gekürzt werden, so dass sie im
Bereich zwischen \(P_{\text{A}}\) und \(P_{\text{B}}\) endet.

Bezeichnet man den Öffnungswinkel der Pfeilspitze
(Winkel zwischen den zwei Schenkeln der Pfeilspitze)
mit \(\alpha\),
so erhält man:
\begin{align*}
\frac{l}{2}&=s\cdot\sin{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\end{align*}
Sind Endpunkt \(P_E\), Linienbreite \(l\) und Öffnungswinkel \(\alpha\)
vorgegeben, so muss der Punkt \(P_0\) für das Zeichnen der Pfeilspitze
den Abstand
\begin{align*}
s&=\frac{\tfrac{l}{2}}{\sin{\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}}=\frac{l}{w}\hksqrt{{l_{\text{a}}}^2+\tfrac{1}{4}{w_{\text{a}}}^2}
\end{align*}
zu \(P_E\) haben. Die Punkte \(P_1\) und \(P_2\) können dann über
die Pfeilspitzenlänge und -breite berechnet werden.

Die eigentliche Linie -- die noch vor der Pfeilspitze gezeichnet
werden sollte -- muss zwischen den Punkten \(P_A\) und \(P_B\)
bzw. auf einem dieser Punkte enden.
Die Entfernung von \(P_A\) zu \(P_E\) beträgt \(2s\), die
Entfernung von \(P_B\) zu \(P_E\) ergibt sich als \(c_{\text{min}}\) zu:
\begin{align*}
\frac{\tfrac{l}{2}}{c_{\text{min}}}&=\tan{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{w_{\text{a}}}{2l_{\text{a}}}\\[0.2em]
c_{\text{min}}&=\frac{\tfrac{l}{2}}{\tan{\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}}=\frac{l\cdot{}l_{\text{a}}}{w_{\text{a}}}&c_{\text{min}}&\leq s\\[0.2em]
c_{\text{max}}&=2s\\
\intertext{Für Polylinien und Kreisbögen ist eine exakte Berechnung möglich, hier wird}
c&=c_{\text{min}}\\
\intertext{verwendet. Für X"=Splines sind Näherungsberechnungen erforderlich, hier gilt:}
c&=\tfrac{1}{2}(c_{\text{max}}+c_{\text{min}})\\[0.2em]
\Delta c&=\tfrac{1}{2}(c_{\text{max}}-c_{\text{min}})
\end{align*}
\clearpage
\subsubsection{Längenkorrektur für Pfeilspitzen an Linien}
Die Längenkorrektur um die Länge \(c\) an einer Linie von
\(P_0(x_0,y_0)\) nach \(P_1(x_1,y_1)\)
wird mit Hilfe folgender Formeln durchgeführt:
\begin{align*}
l&=\hksqrt{{(x_1-x_0)}^2+{(y_1-y_0)}^2}&q&=\frac{l-c}{l}\\
\intertext{für nichtnegative \(q\) gilt dann:}
x_1'&=x_0+q(x_1-x_0)&y_1'&=y_0+q(y_1-y_0)\\
\end{align*}