1\section{solutions}
2
3on donne ici des exemples de sources \mfront ~ qui correspondent aux comportemetns élasto-plastique et visco-plastique de Chaboche.
4
5\subsection{Sources \mfront{} de la loi élasto-(visco)-plastique }
6\label{sec:mfrontchaboche}
7
8\begin{enumerate}
9\item algorithme implicite avec matrice jacobienne numérique .
10  \begin{flushleft}
11    \lstinputlisting[firstline=1,lastline=4]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
12  \end{flushleft}
13  En plasticité, on choisit  \( \theta = 1\) pour que le
14  critère soit vérifié en fin de pas de temps (à l'instant \(t_{i} \))
15\item définition des propriétés matériau (modifiables depuis le jeu de
16  commandes \mtest{} ou \aster{})~:
17  \begin{flushleft}
18    \lstinputlisting[firstline=5,lastline=14]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
19  \end{flushleft}
20\item définition des variables internes (l'écriture ci-dessus utilise
21  des tableaux, ce qui permet de gérer facilement un nombre quelconque
22  de variables cinématiques. Ici on en choisit \(2\))~:
23  \begin{flushleft}
24    \lstinputlisting[firstline=15,lastline=16]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
25  \end{flushleft}
26  De plus, il faut compter en tant que variable interne (donc inconnue
27  du problème à résoudre) le tenseur des déformations élastiques (ou
28  plutôt son incrément {\tt deel}). L'utilisation de {\tt deel }
29  plutôt que {\tt dsig } permet d'obtenir un système bien conditionné
30  et permet de traiter sans précaution particulière le cas de
31  propriétés élastiques variables dans le temps.
32
33\item définition et initialisation des variables locales à
34  l'algorithme (l'initialisation est faite une seule fois avant
35  l'appel de l'algorithme implicite ce qui permet de gagner du temps
36  de calcul)~:
37  \begin{flushleft}
38    \lstinputlisting[firstline=21,lastline=32]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
39  \end{flushleft}
40  On calcule dans cette section le critère \( F^{el} \), qui permet
41  d'éviter de lancer l'algorithme de \nom{Newton} si la solution reste
42  élastique.
43\item calcul des contraintes. À chaque itération de l'algorithme
44  implicite et après convergence, on calcule~:
45  \begin{flushleft}
46    \lstinputlisting[firstline=33,lastline=35]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
47  \end{flushleft}
48\item Calcul des différents termes du système d'équations~:
49  \begin{flushleft}
50    \lstinputlisting[firstline=50,lastline=74]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
51  \end{flushleft}
52  \begin{itemize}
53  \item la valeur de \(p\) est actualisée en \(t_{i} + \theta \Delta t
54    \) à la ligne \(64\), ce qui permet d'actualiser l'écrouissage
55    isotrope \(R\paren{p}\)~;
56  \item de même, pour les variables d'écrouissage cinématique
57    \(\alpha_{i}\) en ligne \(70\).  Ceci permet de calculer le
58    tenseur \((\ets{\tsigma}-\ets{\tenseur{X}})\) à la ligne \(71\)~;
59  \item la direction d'écoulement \(
60    \tenseur{n}=\Frac{3}{2}\Frac{\tilde
61      {\tsigma}-{\tenseur{X}}}{\left(\sigma-\tenseur{X}\right)_{\text{eq}}}
62    \)~;
63  \item la ligne \(75\) décrit simplement la décomposition additive
64    des déformations ;
65  \item la ligne \(76\) traduit le critère de plasticité (normalisé
66    par le module d'Young pour conserver un système d'équations
67    portant sur des grandeurs de la même dimension que les
68    déformations ;
69  \item les lignes \(77\) à \(79\) décrivent les évolutions des
70    variables cinématiques~:
71    \[
72    \Delta\,\talpha_{i}-\Delta p \left
73      (\tenseur{n} - \gamma_{i} \talpha_{i} \right ) =\tenseur{0}
74    \]
75  \item enfin la ligne \(82\) correspond au cas où l'incrément est
76    élastique.
77  \end{itemize}
78\item calcul de l'opérateur tangent cohérent~: il utilise directement
79  l'inverse de la matrice jacobienne~:
80  \begin{flushleft}
81    \lstinputlisting[firstline=36,lastline=49]{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/Chaboche.mfront}
82  \end{flushleft}
83\end{enumerate}
84
85La variable {\tt smt} permet de connaître le type d'opérateur tangent
86demandé par le code appelant.
87
88Cette écriture avec \mfront{} et l'algorithme implicite (et matrice
89jacobienne numérique) permettent d'obtenir une résolution efficace
90(plus efficace que son équivalent avec l'algorithme explicite de
91\nom{Runge-Kutta}, qui s'écrit de façon similaire, en remplaçant
92\og~\texttt{~feel~}~\fg{}, \og~\texttt{fp}~\fg{}, par
93\og~\texttt{deel}~\fg{}, \og~\texttt{dp}~\fg{}, {\em etc.}).
94
95\subsection{Sources \mfront{} de la loi visco-plastique }
96\label{sec:mfrontviscochaboche}
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98Loi viscoplastique~: algorithme implicite avec matrice jacobienne programmée.
99la modification concerne principalement l'équation \texttt{fp}.
100De plus la matrice jacobienne a été ajoutée.
101
102  \begin{flushleft}
103    \lstinputlisting{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/viscochab.mfront}
104  \end{flushleft}
105
106
107\subsection{Sources \mfront{} de la loi de Lemaître }
108\label{sec:mfrontlemaitre}
109
110Loi viscoplastique~ de Lemaître : algorithme implicite avec matrice jacobienne numérique.
111
112  \begin{flushleft}
113    \lstinputlisting{@abs_top_srcdir@/docs/presentations/mfront/lemaitre.mfront}
114  \end{flushleft}
115