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2%%	Fichier	   : rappels
3%%	Auteur     : th202608@pleiades077.intra.cea.fr
4%%	Date       : 29 avril 2014
5%%	Répertoire : /home/th202608/Documents/notes/2014/TutorielMFront/
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7
8\section{Quelques rappels et définitions sur l'intégration des lois de
9  comportement~: où se place \mfront{} ?}
10\label{sec:rappels-integration}
11
12\subsection{Algorithme de résolution d'un problème non linéaire
13  quasi-statique}
14
15Quand le comportement des matériaux composant une structure n'est pas
16linéaire, la résolution de l'équilibre global de la structure à chaque
17instant est un problème non linéaire.
18
19La formulation du problème quasi-statique discrétisé consiste à
20exprimer l'équilibre de la structure pour une suite d'instants de
21calcul \(\left\{t_{i}\right\}_{1\le i\le I}\) qui paramètrent le
22chargement~:
23\[
24\mathrm{L}^{\text{int}}({\mathrm{u}}_{i},t_{i})=\mathrm{L}_{i}^{\text{ext}}\paren{t_{i}}
25\]
26avec~:
27\begin{itemize}
28\item \(t_{i}\) représente la variable d'instant~;
29\item \({\mathrm{u}}_{i}\) est le champ de déplacement à l'instant
30  \(t_{i}\) qui est l'inconnu du problème~;
31\item \(\mathrm{L}^{\text{ext}}(t)\) est le chargement mécanique
32  extérieur auquel est soumis la structure~;
33\item \(\mathrm{L}^{\text{int}}\) représente les forces internes,
34  reliées au champ de contraintes \(\tsigma\).
35\end{itemize}
36
37Ce problème non linéaire est, à chaque instant d'intérêt \(t_{i}\),
38généralement résolu par une méthode de type \nom{Newton}.
39
40En pratique, on distingue deux phases dans l'algorithme~:
41\begin{enumerate}[-]
42\item une phase de prédiction, optionnelle qui estime au mieux la
43  solution avec les données de début de pas~;
44\item une phase de correction itérative.
45\end{enumerate}
46
47Pour la phase de correction, on obtient un système à résoudre, qui
48s'écrit alors, pour chaque itération $n$\footnote{Pour simplifier,
49  nous omettons les équations de \nom{Lagrange} relatives aux
50  conditions aux limites.}~:
51\[
52\mathrm{K}_{i}^{n}.\delta {\mathrm{u}}_{i}^{n+1}=\mathrm{L}_{i}^{\text{méca}}-\mathrm{L}_{i}^{\text{int},n}
53\]
54
55Le vecteur des forces internes \(\mathrm{L}_{i}^{\text{int},n}\) est
56calculé à partir des contraintes \(\tsigma_{i}^{n}\) , celles-ci étant
57calculées à partir des déplacements \({{\mathrm{u}}}_{i}^{n}\) par
58l'intermédiaire de la relation de comportement du matériau.
59
60En fait, dans le cas des comportements incrémentaux,
61\(\tsigma_{i}^{n}\) est calculé à partir de la connaissance des
62contraintes \(\tsigma_{i-1}\) et des éventuelles variables internes
63\(\alpha_{i-1}\) à l'instant précédent et de l'incrément de
64déformation \(\tepsilonto(\Delta\,{{\mathrm{u}}}_{i}^{n})\) induit par
65l'incrément de déplacement depuis le début du processus itératif.
66
67\begin{figure}[!htbp]
68  \centering
69 \includegraphics[width=18cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img2.pdf}
70  \caption{Schéma général de résolution d'un problème non linéaire en mécanique des structures par la méthode de Newton-Raphson.}
71  \label{fig:mfront:tutorial:equilibrium}
72\end{figure}
73
74La figure~\ref{fig:mfront:tutorial:equilibrium} donne une vision très
75globale de cet algorithme.
76
77\begin{figure}[!htbp]
78  \centering
79  \includegraphics[width=15cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img3.pdf}
80  \caption{Place de la loi de comportement dans le schéma itératif de recherche de l'équilibre.}
81  \label{fig:mfront:tutorial:Equilibrium2}
82\end{figure}
83
84La figure~\ref{fig:mfront:tutorial:Equilibrium2} précise la place
85de la loi de comportement dans la recherche de l'équilibre.
86
87\subsection{But et résultat de l'intégration d'une loi de
88  comportement}
89% \hypertarget{RefHeading7829105070066}{}
90
91Au pas de temps \(i\) et à l'itération de Newton \(n\), à partir des
92contraintes et variables internes à l'équilibre précédent
93\((\tsigma_{i-1},\alpha_{i-1})\) et de l'incrément de déformation
94\(\tepsilonto(\Delta\,{{\mathrm{u}}}_{i}^{n})\) (et éventuellement avec
95la température, hydratation..), il faut calculer, en chaque point de
96\nom{Gauss} de chaque élément fini~:
97\begin{itemize}
98\item les contraintes et variables internes~:
99 \[
100 \paren{\tsigma_{i-1},\alpha_{i-1},\tepsilonto\paren{\Delta\,{{\mathrm{u}}}_{i}^{n}}}
101 \rightarrow
102 \tsigma_{i}^{n},\alpha_{i}^{n}
103 \]
104\item l'opérateur tangent~:
105  \[
106  \paren{\tsigma_{i-1},\alpha_{i-1},\tepsilonto(\Delta\, {\mathrm{u}}_{i}^{n})}
107  \rightarrow
108  \left(\frac{\partial \tsigma}{\partial \tepsilonto}\right)_{i}^{n}
109  \]
110\end{itemize}
111
112À l'itération \(0\) du pas de temps \(i\) (initialisation de
113l'algorithme de Newton), on choisit comme matrice tangente de
114prédiction la matrice tangente à l'équilibre précédent (\(i-1\)), soit~:
115\[
116\mathrm{K}_{i}^{0}=\mathrm{K}_{i-1}
117\]
118À partir des contraintes et
119variables internes à l'équilibre précédent
120\((\tsigma_{i-1},\alpha_{i-1})\) , il faut donc calculer en chaque
121point de \nom{Gauss} de chaque élément fini~:
122\begin{itemize}
123\item l'opérateur tangent en prédiction~:
124\(\tsigma_{i-1},\alpha_{i-1}\text{
125}{\to }\text{ }\left(\frac{\partial
126\tsigma}{\partial
127\tepsilonto}\right)_{i}^{0}\)
128\end{itemize}
129
130\subsection{Différents types de matrices tangentes }
131% \hypertarget{RefHeading7831105070066}{}
132
133\subsubsection{Matrice tangente dite cohérente ou consistante}
134
135\begin{figure}[!h]
136  \begin{tabular}[htbp]{cc}
137  \includegraphics[width=0.4\linewidth]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/Kcoh.png} &
138  \includegraphics[width=0.4\linewidth]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/Kel.png}  \\
139  (A) & (B) \\
140  \includegraphics[width=0.4\linewidth]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/Ktgt.png} & \\
141  (C) & \\
142  \end{tabular}
143  \caption{Matrices tangentes (A) cohérente, (B) élastique, (C) prédiction}
144  \label{fig:Ktangentes}
145\end{figure}
146
147Réactualisée à chaque itération, elle assure la meilleure vitesse de
148convergence (quadratique) à l'algorithme global de Newton
149(figure~\ref{fig:Ktangentes}-A). Mais pour de grands
150incréments de chargement, ou des décharges, la matrice tangente
151cohérente peut conduire à des divergences de l'algorithme.
152
153\subsubsection{Autres matrices \og~tangentes~\fg{}}
154
155Les approximations dans le calcul de la matrice \og~tangente~\fg{}
156dégradent la vitesse de convergence par rapport à la matrice tangente
157cohérente mais la solution obtenue reste juste tant que le résidu est
158calculé de manière exacte. Il existe plusieurs variantes possibles
159(dites méthodes de quasi-Newton). Citons les plus simples~:
160
161\begin{itemize}
162\item la matrice élastique~:
163  \begin{itemize}
164  \item calculée une seule fois (économique) à partir des paramètres
165    d'élasticité~;
166  \item recommandée en cas de décharge~;
167  \item convergence lente mais assurée (figure~\ref{fig:Ktangentes}-B).
168  \end{itemize}
169\item matrice tangente réactualisée tous les $i_{0}$ incréments de
170  charge (figure~\ref{fig:Ktangentes}-C) ou toutes les $n_{0}$ itérations de \nom{Newton}
171  \begin{itemize}
172  \item coût moindre~
173  \item direction moins bien évaluée~;
174  \item diverge parfois dans les zones de forte non linéarité~;
175  \end{itemize}
176\end{itemize}
177
178% \begin{center}
179%   \begin{tabular}{|c|c|}
180%     \hline
181%     matrice
182%     tangente réactualisée à chaque itération &
183%     matrice élastique   \\
184%     \hline
185%     matrice
186%     tangente réactualisée à chaque incrément de chargement  &
187%     matrice tangente réactualisée toute les deux itérations de Newton \\
188%     \hline
189%   \end{tabular}
190% \end{center}
191
192Pour tous ces algorithmes, il est possible, en cas de non convergence,
193de procéder à un re-découpage local du pas de temps. Pour cela, on
194adopte une interpolation linéaire du déplacement et des variables de
195commande (par exemple la température) au cours de l'intervalle de
196temps, ce qui conduit, pour tout incrément de temps à~:
197\[
198\forall \tau \in [t_{\text{i-1}},t_{i}]\,T(\tau
199)=T_{\text{i-1}}+\frac{\tau -t_{\text{i-1}}}{\Delta
200  t}[T-T_{\text{i-1}}] \quad\quad \varepsilon_{{\text{ij}}}^{k}(\tau
201)=\varepsilon_{{\text{ij}}}({{\mathrm{u}}}_{\text{i-1}})+\frac{\tau
202  -t_{\text{i-1}}}{\Delta\,t}[\varepsilon_{{\text{ij}}}^{k}({{\mathrm{u}}}_{i}^{n})-\varepsilon_{{\text{ij}}}({{\mathrm{u}}}_{\text{i-1}})]
203\]
204
205\subsection{Méthodes d'intégration mises en {\oe}uvre dans \mfront{}}
206% \hypertarget{RefHeading1674633584514}{}
207
208\mfront{} permet de réaliser ces calculs au niveau du point
209d'intégration. Plusieurs algorithmes de résolution
210sont offerts à l'utilisateur~:
211\begin{itemize}
212\item des algorithmes adaptés aux lois simples (viscoplastiques et
213  plastiques isotropes, etc.) par intégration implicite avec réduction
214  à une équation scalaire, ce qui est équivalent à ce qui est fait
215  dans \aster{} pour les lois élasto-plastiques de \nom{Von Mises},
216  les lois de \nom{Lemaitre}, de \nom{Chaboche}~;
217\item l'intégration explicite par des algorithmes de type
218  \nom{Runge-Kutta} (d'ordres variés) avec contrôle d'erreur~;
219\item l'intégration implicite par une \(\theta\)-méthode et des
220  algorithmes de \nom{Newton}, (avec des variantes de type
221  \nom{Broyden})~;
222\item l'intégration directe (si la résolution est analytique)~;
223\end{itemize}
224
225\subsection{nomenclature et mots-clés réservés}
226
227\mfront{} définit par défaut un certain nombre de mots clés qui
228représentent les quantités utiles aux différents algorithmes de
229résolution.  Pour éviter les conflits, ces noms ne peuvent pas être
230utilisés pour désigner d'autres variables.
231
232\begin{itemize}
233  \item {\tt Dt} représente la matrice tangente cohérente qu'il
234  faut calculer~;
235  \item {\tt sig} représente la contrainte qu'il faut calculer~;
236  \item {\tt eto} représente la déformation totale en début de
237  pas~;
238  \item {\tt deto} représente l'incrément de déformation totale
239  (constante sur le pas)~;
240  \item {\tt T} représente la valeur de la température en début
241  de pas~;
242  \item {\tt dT} représente l'incrément de changement de
243  température (constante sur le pas)~;
244  \item pour toute variable interne {\tt Y}, {\tt Y} représente
245  sa valeur en début de pas~;
246  \item pour toute variable interne {\tt Y}, {\tt dY} représente
247  l'incrément de cette variable sur le pas, incrément qu'il faut
248  calculer~;
249  \item pour toute variable externe {\tt V}, {\tt V} représente
250  sa valeur en début de pas~;
251  \item pour toute variable externe {\tt V}, {\tt dV} représente
252    son incrément de variation sur le pas de temps (constante sur le pas).
253\end{itemize}
254%%% Local Variables:
255%%% mode: latex
256%%% TeX-master: "tutoriel"
257%%% End:
258