1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2%% Fichier : rappels 3%% Auteur : th202608@pleiades077.intra.cea.fr 4%% Date : 29 avril 2014 5%% Répertoire : /home/th202608/Documents/notes/2014/TutorielMFront/ 6%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 7 8\section{Quelques rappels et définitions sur l'intégration des lois de 9 comportement~: où se place \mfront{} ?} 10\label{sec:rappels-integration} 11 12\subsection{Algorithme de résolution d'un problème non linéaire 13 quasi-statique} 14 15Quand le comportement des matériaux composant une structure n'est pas 16linéaire, la résolution de l'équilibre global de la structure à chaque 17instant est un problème non linéaire. 18 19La formulation du problème quasi-statique discrétisé consiste à 20exprimer l'équilibre de la structure pour une suite d'instants de 21calcul \(\left\{t_{i}\right\}_{1\le i\le I}\) qui paramètrent le 22chargement~: 23\[ 24\mathrm{L}^{\text{int}}({\mathrm{u}}_{i},t_{i})=\mathrm{L}_{i}^{\text{ext}}\paren{t_{i}} 25\] 26avec~: 27\begin{itemize} 28\item \(t_{i}\) représente la variable d'instant~; 29\item \({\mathrm{u}}_{i}\) est le champ de déplacement à l'instant 30 \(t_{i}\) qui est l'inconnu du problème~; 31\item \(\mathrm{L}^{\text{ext}}(t)\) est le chargement mécanique 32 extérieur auquel est soumis la structure~; 33\item \(\mathrm{L}^{\text{int}}\) représente les forces internes, 34 reliées au champ de contraintes \(\tsigma\). 35\end{itemize} 36 37Ce problème non linéaire est, à chaque instant d'intérêt \(t_{i}\), 38généralement résolu par une méthode de type \nom{Newton}. 39 40En pratique, on distingue deux phases dans l'algorithme~: 41\begin{enumerate}[-] 42\item une phase de prédiction, optionnelle qui estime au mieux la 43 solution avec les données de début de pas~; 44\item une phase de correction itérative. 45\end{enumerate} 46 47Pour la phase de correction, on obtient un système à résoudre, qui 48s'écrit alors, pour chaque itération $n$\footnote{Pour simplifier, 49 nous omettons les équations de \nom{Lagrange} relatives aux 50 conditions aux limites.}~: 51\[ 52\mathrm{K}_{i}^{n}.\delta {\mathrm{u}}_{i}^{n+1}=\mathrm{L}_{i}^{\text{méca}}-\mathrm{L}_{i}^{\text{int},n} 53\] 54 55Le vecteur des forces internes \(\mathrm{L}_{i}^{\text{int},n}\) est 56calculé à partir des contraintes \(\tsigma_{i}^{n}\) , celles-ci étant 57calculées à partir des déplacements \({{\mathrm{u}}}_{i}^{n}\) par 58l'intermédiaire de la relation de comportement du matériau. 59 60En fait, dans le cas des comportements incrémentaux, 61\(\tsigma_{i}^{n}\) est calculé à partir de la connaissance des 62contraintes \(\tsigma_{i-1}\) et des éventuelles variables internes 63\(\alpha_{i-1}\) à l'instant précédent et de l'incrément de 64déformation \(\tepsilonto(\Delta\,{{\mathrm{u}}}_{i}^{n})\) induit par 65l'incrément de déplacement depuis le début du processus itératif. 66 67\begin{figure}[!htbp] 68 \centering 69 \includegraphics[width=18cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img2.pdf} 70 \caption{Schéma général de résolution d'un problème non linéaire en mécanique des structures par la méthode de Newton-Raphson.} 71 \label{fig:mfront:tutorial:equilibrium} 72\end{figure} 73 74La figure~\ref{fig:mfront:tutorial:equilibrium} donne une vision très 75globale de cet algorithme. 76 77\begin{figure}[!htbp] 78 \centering 79 \includegraphics[width=15cm]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/tutorielch12-img3.pdf} 80 \caption{Place de la loi de comportement dans le schéma itératif de recherche de l'équilibre.} 81 \label{fig:mfront:tutorial:Equilibrium2} 82\end{figure} 83 84La figure~\ref{fig:mfront:tutorial:Equilibrium2} précise la place 85de la loi de comportement dans la recherche de l'équilibre. 86 87\subsection{But et résultat de l'intégration d'une loi de 88 comportement} 89% \hypertarget{RefHeading7829105070066}{} 90 91Au pas de temps \(i\) et à l'itération de Newton \(n\), à partir des 92contraintes et variables internes à l'équilibre précédent 93\((\tsigma_{i-1},\alpha_{i-1})\) et de l'incrément de déformation 94\(\tepsilonto(\Delta\,{{\mathrm{u}}}_{i}^{n})\) (et éventuellement avec 95la température, hydratation..), il faut calculer, en chaque point de 96\nom{Gauss} de chaque élément fini~: 97\begin{itemize} 98\item les contraintes et variables internes~: 99 \[ 100 \paren{\tsigma_{i-1},\alpha_{i-1},\tepsilonto\paren{\Delta\,{{\mathrm{u}}}_{i}^{n}}} 101 \rightarrow 102 \tsigma_{i}^{n},\alpha_{i}^{n} 103 \] 104\item l'opérateur tangent~: 105 \[ 106 \paren{\tsigma_{i-1},\alpha_{i-1},\tepsilonto(\Delta\, {\mathrm{u}}_{i}^{n})} 107 \rightarrow 108 \left(\frac{\partial \tsigma}{\partial \tepsilonto}\right)_{i}^{n} 109 \] 110\end{itemize} 111 112À l'itération \(0\) du pas de temps \(i\) (initialisation de 113l'algorithme de Newton), on choisit comme matrice tangente de 114prédiction la matrice tangente à l'équilibre précédent (\(i-1\)), soit~: 115\[ 116\mathrm{K}_{i}^{0}=\mathrm{K}_{i-1} 117\] 118À partir des contraintes et 119variables internes à l'équilibre précédent 120\((\tsigma_{i-1},\alpha_{i-1})\) , il faut donc calculer en chaque 121point de \nom{Gauss} de chaque élément fini~: 122\begin{itemize} 123\item l'opérateur tangent en prédiction~: 124\(\tsigma_{i-1},\alpha_{i-1}\text{ 125}{\to }\text{ }\left(\frac{\partial 126\tsigma}{\partial 127\tepsilonto}\right)_{i}^{0}\) 128\end{itemize} 129 130\subsection{Différents types de matrices tangentes } 131% \hypertarget{RefHeading7831105070066}{} 132 133\subsubsection{Matrice tangente dite cohérente ou consistante} 134 135\begin{figure}[!h] 136 \begin{tabular}[htbp]{cc} 137 \includegraphics[width=0.4\linewidth]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/Kcoh.png} & 138 \includegraphics[width=0.4\linewidth]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/Kel.png} \\ 139 (A) & (B) \\ 140 \includegraphics[width=0.4\linewidth]{@top_srcdir@/docs/tutorial/images/Ktgt.png} & \\ 141 (C) & \\ 142 \end{tabular} 143 \caption{Matrices tangentes (A) cohérente, (B) élastique, (C) prédiction} 144 \label{fig:Ktangentes} 145\end{figure} 146 147Réactualisée à chaque itération, elle assure la meilleure vitesse de 148convergence (quadratique) à l'algorithme global de Newton 149(figure~\ref{fig:Ktangentes}-A). Mais pour de grands 150incréments de chargement, ou des décharges, la matrice tangente 151cohérente peut conduire à des divergences de l'algorithme. 152 153\subsubsection{Autres matrices \og~tangentes~\fg{}} 154 155Les approximations dans le calcul de la matrice \og~tangente~\fg{} 156dégradent la vitesse de convergence par rapport à la matrice tangente 157cohérente mais la solution obtenue reste juste tant que le résidu est 158calculé de manière exacte. Il existe plusieurs variantes possibles 159(dites méthodes de quasi-Newton). Citons les plus simples~: 160 161\begin{itemize} 162\item la matrice élastique~: 163 \begin{itemize} 164 \item calculée une seule fois (économique) à partir des paramètres 165 d'élasticité~; 166 \item recommandée en cas de décharge~; 167 \item convergence lente mais assurée (figure~\ref{fig:Ktangentes}-B). 168 \end{itemize} 169\item matrice tangente réactualisée tous les $i_{0}$ incréments de 170 charge (figure~\ref{fig:Ktangentes}-C) ou toutes les $n_{0}$ itérations de \nom{Newton} 171 \begin{itemize} 172 \item coût moindre~ 173 \item direction moins bien évaluée~; 174 \item diverge parfois dans les zones de forte non linéarité~; 175 \end{itemize} 176\end{itemize} 177 178% \begin{center} 179% \begin{tabular}{|c|c|} 180% \hline 181% matrice 182% tangente réactualisée à chaque itération & 183% matrice élastique \\ 184% \hline 185% matrice 186% tangente réactualisée à chaque incrément de chargement & 187% matrice tangente réactualisée toute les deux itérations de Newton \\ 188% \hline 189% \end{tabular} 190% \end{center} 191 192Pour tous ces algorithmes, il est possible, en cas de non convergence, 193de procéder à un re-découpage local du pas de temps. Pour cela, on 194adopte une interpolation linéaire du déplacement et des variables de 195commande (par exemple la température) au cours de l'intervalle de 196temps, ce qui conduit, pour tout incrément de temps à~: 197\[ 198\forall \tau \in [t_{\text{i-1}},t_{i}]\,T(\tau 199)=T_{\text{i-1}}+\frac{\tau -t_{\text{i-1}}}{\Delta 200 t}[T-T_{\text{i-1}}] \quad\quad \varepsilon_{{\text{ij}}}^{k}(\tau 201)=\varepsilon_{{\text{ij}}}({{\mathrm{u}}}_{\text{i-1}})+\frac{\tau 202 -t_{\text{i-1}}}{\Delta\,t}[\varepsilon_{{\text{ij}}}^{k}({{\mathrm{u}}}_{i}^{n})-\varepsilon_{{\text{ij}}}({{\mathrm{u}}}_{\text{i-1}})] 203\] 204 205\subsection{Méthodes d'intégration mises en {\oe}uvre dans \mfront{}} 206% \hypertarget{RefHeading1674633584514}{} 207 208\mfront{} permet de réaliser ces calculs au niveau du point 209d'intégration. Plusieurs algorithmes de résolution 210sont offerts à l'utilisateur~: 211\begin{itemize} 212\item des algorithmes adaptés aux lois simples (viscoplastiques et 213 plastiques isotropes, etc.) par intégration implicite avec réduction 214 à une équation scalaire, ce qui est équivalent à ce qui est fait 215 dans \aster{} pour les lois élasto-plastiques de \nom{Von Mises}, 216 les lois de \nom{Lemaitre}, de \nom{Chaboche}~; 217\item l'intégration explicite par des algorithmes de type 218 \nom{Runge-Kutta} (d'ordres variés) avec contrôle d'erreur~; 219\item l'intégration implicite par une \(\theta\)-méthode et des 220 algorithmes de \nom{Newton}, (avec des variantes de type 221 \nom{Broyden})~; 222\item l'intégration directe (si la résolution est analytique)~; 223\end{itemize} 224 225\subsection{nomenclature et mots-clés réservés} 226 227\mfront{} définit par défaut un certain nombre de mots clés qui 228représentent les quantités utiles aux différents algorithmes de 229résolution. Pour éviter les conflits, ces noms ne peuvent pas être 230utilisés pour désigner d'autres variables. 231 232\begin{itemize} 233 \item {\tt Dt} représente la matrice tangente cohérente qu'il 234 faut calculer~; 235 \item {\tt sig} représente la contrainte qu'il faut calculer~; 236 \item {\tt eto} représente la déformation totale en début de 237 pas~; 238 \item {\tt deto} représente l'incrément de déformation totale 239 (constante sur le pas)~; 240 \item {\tt T} représente la valeur de la température en début 241 de pas~; 242 \item {\tt dT} représente l'incrément de changement de 243 température (constante sur le pas)~; 244 \item pour toute variable interne {\tt Y}, {\tt Y} représente 245 sa valeur en début de pas~; 246 \item pour toute variable interne {\tt Y}, {\tt dY} représente 247 l'incrément de cette variable sur le pas, incrément qu'il faut 248 calculer~; 249 \item pour toute variable externe {\tt V}, {\tt V} représente 250 sa valeur en début de pas~; 251 \item pour toute variable externe {\tt V}, {\tt dV} représente 252 son incrément de variation sur le pas de temps (constante sur le pas). 253\end{itemize} 254%%% Local Variables: 255%%% mode: latex 256%%% TeX-master: "tutoriel" 257%%% End: 258